张春霞,李　政

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州　730070)



Artin模的Gorenstein平坦覆盖

张春霞,李政

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070)

设R是一个交换QF环,A是具有有限投射维数的Artin模,则A的Gorenstein平坦覆盖是Artin的．

Artin模；Gorenstein平坦覆盖；QF环

众所周知,任意模的平坦覆盖总是存在的.Yang等[1]证明了任意环上每个模都有Gorenstein平坦预覆盖,从而Artin模的Gorenstein平坦预覆盖一定存在；Enochs等[2]证明了右凝聚环上任意模都有Gorenstein平坦覆盖,因此,右凝聚环上Artin模的Gorenstein平坦覆盖是存在的；Massoumeh等[3]证明了交换Noether环上Artin模的Gorenstein内射包络不仅存在,而且也是Artin模.受此启发,本文证明了在交换QF环上,当Artin模的投射维数有限时,它的Gorenstein平坦覆盖是Artin模.如无特殊说明,本文所有的环均指有单位元的结合环,所有的模均指左酉模.

1　准备知识

设R是环.首先回顾一些基本概念.

定义1称环R是QF环,若R是左右Noether环且是左右自内射的.

定义2设X是R-模类,X∈X.称同态φ:X→M是M的X-预覆盖,如果对任意X′∈X,

HomR(X′,X)→HomR(X′,M)→0

是正合的.若满足φ=φf的f∈End(X)只能是同构,则φ:X→M称为M的X-覆盖.如果X是Gorenstein平坦模类,那么称X-覆盖为Gorenstein平坦覆盖.

由于投射模是Gorenstein平坦模,因此Gorenstein平坦预覆盖是满同态.

为了方便,通常直接称X或φ为X-覆盖(X-预覆盖).若X-覆盖存在,则它们在同构意义下是唯一的.对偶地,可以定义X-包络(X-预包络).

使得M≅Im(F0→F0).Gorenstein平坦模简称为G-平坦模.

2　主要结果

引理1设f:R→T是环同态.若M是cotorsion T-模,则M是cotorsion R-模.

证明设E*是M的内射分解,F是任意的平坦R-模.对i≥0，有下列同构式：

称环同态f:R→T是平坦环同态,如果RT是平坦的.

引理2设f:R→T是平坦环同态,M是T-模.假设任意的G-平坦T-模作为R-模也是G-平坦的,则以下结论成立:

(i)GfdRM≤GfdTM.若对任意T-模M,它作为R-模是G-平坦时作为T-模也是G-平坦的,则等号成立.

(ii)若φ:F→M是M作为T-模的G-平坦预覆盖,使得Kerφ是cotorsion T-模且fdT(Kerφ)<∞,则φ:F→M也是M作为R-模的G-平坦预覆盖且Kerφ是cotorsion R-模及fdR(Kerφ)<∞.

证明(i)设M是平坦T-模.因为f是平坦的,所以RT是平坦的,又T⊗TM≅RM,可得M是平坦R-模.所以M作为T-模的G-平坦分解也是M作为R-模的G-平坦分解,故GfdRM≤GfdTM.

假设任意T-模M作为R模是G-平坦的,作为T-模也是G-平坦的.要证明等号成立,只需证GfdTM≤GfdRM即可.

不妨设GfdRM=n<∞，则M作为T-模存在如下分解:

其中Fi为G-平坦T-模,i=0,1,2,…,n,….

由题设知F*也是M作为R-模的G-平坦分解.因为GfdRM=n,Ker(Fn-1→Fn-2)是G-平坦R-模,由假设Ker(Fn-1→Fn-2)也是G-平坦T-模,从而GfdTM≤n=GfdRM.

综上，可以得到GfdTM=GfdRM.

(ii)因为φ:F→M是M作为T-模的G-平坦预覆盖,所以F是G-平坦T-模，并且存在正合列

(1)

HomR(G,F)→HomR(G,M)→

故φ:F→M是M作为R-模的G-平坦预覆盖.】

称RM是忠实平坦模,如果0→AR→BR是正合的当且仅当0→A⊗RM→B⊗RM是正合的.

引理3设f:R→T是忠实平坦环同态,则任意的G-平坦T-模是G-平坦R-模.

证明设M是G-平坦T-模.因为f:R→T是忠实平坦环同态,所以TR是忠实平坦的.由文献[5]可得T⊗RM是G-平坦T-模，即GfdT(T⊗RM)=0.再由文献[6]定理1.8可得GfdRM=GfdT(T⊗RM)，所以GfdRM=0.故M是G-平坦R-模.】

引理4设(R,m)是局部QF环,A是Artin R-模,且pdRA<∞，则A的G-平坦覆盖也是Artin R-模.

将正合函子HomR(-,ER(R/m))记作(-)∨.由文献[4]定理3.4.7知,A∨是有限生成R-模.再由文献[4]引理3.4.6知,A∨∨≅A.由于QF环上的投射模是内射模,所以A∨存在投射预包络f:A∨→E, 使得E是有限生成模,并且f为单同态,故有正合序列

(2)

所以E也是有限生成内射模.令C=Cokerf,用HomR(-,ER(R/m))作用上述正合列,则有下列正合序列：

(3)

由文献[4]定理3.2.16和推论3.4.4知E∨是Artin G-平坦R-模.又pdRA<∞,所以idRA∨<∞. 因为E为内射模,由正合列(2)知idRC<∞.对任意的G-平坦R-模G,可以得到如下等式：

设τ:E→E∨∨是自然同构，λ:E∨→E∨是R-同态, 使得φλ=φ.由于(τ-1λ∨τ)f=f,由包络定义可知τ-1λ∨τ是自同构, 则λ是自同构.因此,E∨是A的G-平坦覆盖.】

引理5设R是QF环,S是R的乘法闭子集,L是S-1R-模,则L作为R-模是G-平坦的当且仅当L作为S-1R-模是G-平坦的.一般地,对任意的S-1R-模M,有GfdRM=GfdS-1RM.

证明⟹.设L是G-平坦R-模.因为L是S-1R-模,故存在如下平坦分解:

其中Fi为平坦S-1R-模,i∈N.

由文献[4]定理6.5.1知,S-1R-模L存在平坦预包络φ0:L→F0.又因为L是G-平坦R-模,则存在平坦R-模F,使得0→L→F.局部化后,有单同态0→S-1L→S-1F.又L是S-1R-模,所以存在单同态0→L→S-1F,即有下列交换图：

由此可知gφ0=f.又f是单同态,故φ0是单同态.所以存在短正合列

(4)

又L与F0均为G-平坦R-模,而QF环上内射模是投射模,所以也是平坦模.由文献[4]定理10.3.14可得Cokerφ0也是G-平坦R-模.重复上述步骤,可得短正合序列

以此类推,可得正合序列

其中Fi,Fi均为平坦S-1R-模,i∈N,并且L≅Im(F0→F0).

若N是S-1R-模,F*是N的平坦分解，则对任意R-模M,有下列同构式：

由于任意的平坦S-1R-模也是平坦R-模,因此F*也是N作为R-模的平坦分解,故对i≥0,有下列同构式：

⟸.设L作为S-1R-模是G-平坦的,则存在平坦S-1R-模的正合序列

进一步，由引理2(i)和引理3可得到GfdRM=GfdS-1RM.】

记R-模M的支撑为

定理1设R是交换的Q F环,A是Artin R-模,且pdRA<∞,则A的G-平坦覆盖是Artin R-模.

证明设m∈suppRA,A是Artin R-模,并且pdRA<∞,不妨设pdRA=n,则存在投射分解

(5)

其中Pi为投射R-模,i=0,1,2,…,n.由(5)式可得Am的投射分解

G-平坦覆盖是Artin Rm-模.又Artin Rm-模A作为R-模是Artin的且HomR(A,A)=HomRm(A,A),故结合引理5可知,Am在环Rm上的G-平坦覆盖也是Am作为R-模的G-平坦覆盖,并且是Artin R-模.

注1：Artin模的G-平坦覆盖是Artin模时,其投射维数未必有限.

[1]YANG G,LIANG L.All modules have Gorenstein flat precovers [J].Comm Algebra,2014,42(7):3078.

[2]ENOCHS E E,JENDA O M G,LOPEZ-RAMOS J A.The existence of Gorenstein flat cover[J].Math Scand,2004,94(1):46.

[3]MASSOUMEH N B,KAMRAN D A.Gorenstein injective envelopes of artinian modules[J].Comm Algebra,2014,42(11):4635.

[4]ENOCHS E E,JENDA O M G.Relative Homological Algebra[M].de Gruyter Expositions in Mathematics.Berlin:Walter de Gruyter & Co,2000.

[5]CHRISTENSEN L W,HOLM H.Ascent properties of Auslander categories[J].Canad J Math,2009,61(1):76.

[6]CHRISTENSEN L W,SATHER-WAGSTAFF S.Transfer of Gorenstein dimensions along ring homomorphisms[J].J Pure Appl Algebra,2010,214(6):982.

[7]DIVAANI-AAZAR K.Vanishing of the top local cohomology modules over Noetherian rings[J].Proc Indian Acad Sci Math Sci,2009,119(1):23.

(责任编辑马宇鸿)

Gorenstein flat covers of Artinian modules

ZHANG Chun-xia,LI Zheng

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

Let R be a commutative QF ring and A be an Artinian R-module.If A has finite projective dimension,then A possesses a Gorenstein flat cover which is Artinian.

Artinian module;Gorenstein flat cover;QF ring

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.02.002

2015-06-08;修改稿收到日期:2015-07-26

国家自然科学基金资助项目(11401475)

张春霞(1979—),女，甘肃庆阳人,副教授,博士，硕士研究生导师.主要研究方向为环的同调理论.

E-mail:zhangcx@nwnu.edu.cn

O 153.3

A

1001-988Ⅹ(2016)02-0006-03