普成秀

(广南县第一中学 云南 广南 663300)

谈构造可导函数证明不等式的几点小窍门

普成秀

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导数作为研究数学的重要工具，可以解决很多的问题，本文将阐述利用导数法证明不等式的方法。

构造;可导函数;不等式

高中数学证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法等。但是当不等式比较复杂时，用初等的方法证明会比较困难,有时还证不出来。如果用函数的观点去认识不等式,利用导数为工具,那么不等式的证明就会化难为易。本文通过举例阐述，从所证不等式的结构和特点出发，结合自己已有知识，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明。

用导数方法证明不等式，其步骤一般是：构造可导函数——利用导数研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论。

一、直接作差构造函数

一般地，证明f(x)>g(x),x∈(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),利用求导的方法研究函数的单调性，判断F(x)的区间端点函数值与0的关系，来证明不等式。

证明：设f(x)=sinx-x,则f'(x)=cosx-1。

∵x∈(0,π),∴f'(x)<0。∴f(x)=sinx-x在x∈(0,π)内单调递减，而f(0)=0。

∴f(x)=sinx-x

二、将区间的一个端点设为自变量而构造函数

考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量。

三、直接利用条件函数证明不等式

观察条件函数与不等式的关系，直接利用条件函数来构造可导函数。

例3.已知函数f(x)=-x2+ln(1+2x)

∵b>a>0

四、通过换元来构造函数

令h(x)=x3-x2+ln(x+1)

从以上几例可以看出，导数不仅是证明不等式的重要思想方法，也是判断函数的单调性、求函数极植、最值等的重要思想方法，这类试题在考查综合能力的同时，充分体现了导数的工具性和导数应用的灵活性，与新课程标准接轨，彰显时代气息。