南昌三中

张金生



构造“好”函数，巧证不等式
——对2016年全国1卷(乙卷)理科数学第21题反思

南昌三中

张金生

函数、导数与不等式是中学数学中最重要的内容，近年来函数导数不等式题型常作为高考压轴题，对考生来说如何根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的是一个难点.本文以今年全国 1 卷 (乙卷) 理科数学第21题和几道模拟试题为例,说明如何构造一个好函数,求导研究函数的性质，利用函数的单调性和极值等性质去解决问题，希望能抛砖引玉.

一、极值点偏移的问题，根据对称化构造“好”函数

例1(2016 年全国 1 卷 (乙卷) 理科数学第21题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2

分析：该题第 (1) 小题是典型的零点个数问题，可用分离变量法，建立一个新函数，求导研究函数图象和性质，考查了函数与方程、分类讨论与数形结合思想；第 (2) 小题是典型的极值点偏移的问题，根据对称化构造一个函数即可.

(2)由(1)，不妨设x1<1

该题并不陌生，目前全国各地的模拟题中频繁出现极值点偏移的试题，比如下面例题2：

例2(南昌市2015-2016重点中学高三月考21题)

所以2016 年全国 1 卷 (乙卷) 理科数学第21题对学习能力强知识面广的考生较有利．

构造函数在解决不等式等问题中之所以显示出这么大的作用,根源在于函数思想的巨大威力,正如大数学家笛卡儿所说:一切问题都可以转……