浙江省衢州第二中学　(324000)

傅建红



识图观图作图用图
——谈数形结合思想在函数中的应用

浙江省衢州第二中学(324000)

傅建红

笔者在高三复习教学中发现，尽管数形结合思想学生早已耳熟能详，也深谙其义，但对它“具体有哪些应用？怎么用？”却不甚了然，以至在面对具体问题时依旧难以入手.究其原因，笔者认为是缺少对其应用场合的归纳以及操作层面的指导.本文下面以近几年的高考、模考试题为例，谈谈数形结合思想在函数中的应用.

一、识图

“识图”是指在给出函数解析式时，如何利用函数的性质匹配其图像.函数的性质有定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、极值、最值、极限等，根据它们，即可了解图像的大致走势与分布，再结合选择支，不难找出正确答案.

例1(2013年福建(文))函数f(x)=ln(x2+1)的图像大致是().

A　　　　　 B 　　　C 　　　　　D

解:考察函数值域知，f(x)=ln(x2+1)≥ln1=0(当x=0时等号成立)，所以B、C、D均错，故选A.

点评:本题也可根据(1)f(x)为偶函数(图像关于y轴对称)；(2)f(0)=0(过原点)，从而获解.

A B C D

二、观图

“观图”是指在给出函数图像时，如何利用图像提供的信息，推测函数的性质.其着眼点通常有：图像与两轴交点的位置、图像在两轴上的投影区间(体现函数的定义域和值域)，单调性、对称性、极值点、渐近线等.

图1

例3(2015年安徽(文))函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图1所示，则下列结论成立的是().

A.a>0,b<0,c>0,d>0

B.a>0,b<0,c<0,d>0

C.a<0,b<0,c>0,d>0

D.a>0,b>0,c>0,d<0

点评:“观图识性”是数形结合思想的重要体现.本题中，先由函数图像与y轴相交点的坐标确定d的正负，再由单调区间及x1,x2的正负确定a,b,c的正负.

图2

A.a>0,b>0,c<0

B.a<0,b>0,c>0

C.a<0,b>0,c<0

D.a<0,b<0,c<0

解:观察图像可知，函数在y轴上的截距为正，且函数的竖直渐近线x=-c也为正，所以b>0，c<0.又当x>-c时，f(x)<0，所以a<0，故选C.

点评:对分式函数而言，使分母为零的x是函数的竖直渐近线；当分母趋于无穷(正无穷……