富立 孙舒 巴颖（华北理工大学理学院，河北唐山 063000）

凸分析观点下的库仑摩擦定律

富立 孙舒 巴颖
（华北理工大学理学院，河北唐山 063000）

以凸分析理论为工具，从非光滑分析的角度分析经典的库仑摩擦定律。站在更高的数学理论基础上，重新审视我们熟知的库仑摩擦定律，会有许多新的理解与发现。采用凸分析理论工具重新认识经典的库仑摩擦定律。首先介绍凸分析理论的若干基本概念。然后从两方面对库仑摩擦定律进行分析。一方面是摩擦力与速度势能的广义微分关系；另一方面速度与共轭势能的广义微分关系。最后给出速度在摩擦力凸集的法锥上以及库仑摩擦力与相对滑动方向不一定相反的结论。

库仑摩擦 凸分析 集值函数 速度势能 共轭势能

1 凸分析若干基本概念

1.1 集值函数

集（合）值函数是函数概念的扩展。集值函数是定义域与值域之间的多值映射，它将定义域中的点映射为值域中的集合。以集值符号函数 Sgn（）x为例：

由定义可见，集值符号函数 Sgn（·）是对普通符号函数 Sgn（·）的扩展。普通符号函数 Sgn（·）在 x = 0处的函数值定义为0；而集值符号函数 Sgn（·）在 x = 0处的函数值定义为集合［-1，+1］，在 x = 0处，函数 Sgn（·）的图形是一条垂直线段，如图1（a）所示。

在凸分析理论中，函数在非光滑处的广义导数（又称次微分）定义为左、右导数之间的取值集合，如绝对值函数在 x = 0处的广义导数为［-1，+1］。因此，绝对值函数（图1（b））与集值函数 Sgn（x）（图1 （a））是原函数与导函数的关系，绝对值函数的次微分是集值函数Sgn（x），如图1所示。……