蔡金凤



中考题中的直角三角形

蔡金凤

直角三角形是中考必考的重要内容之一，在填空、选择、解答题中都有可能出现，在解答题中它往往与三角函数、相似三角形等相结合.本文以直角三角形为载体，剖析中考中是如何在考查基础知识的同时又考查分类讨论思想的.

一、有关边的分类

例1（2014·凉山）已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为_______.

【分析】此题易受勾三股四弦五的影响，填一个答案5.其实应看4充当什么边，因此要分：①4是斜边，②4是直角边，可根据勾股定理求出上述两种情况下第三边的长.

解：①当4是斜边时：

②当4是直角边时：

二、有关角的分类

例2（2015·江西）如图1，AB=BC= 4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时AP的长为_______.

【分析】分三种情况讨论：1.以∠APB为直角有两种情况，点P在线段CO上，或点P在CO的延长线上；2.以∠ABP为直角.

解：①如图2，∠APB=90°，

∵AO=BO，∠APB=90°，

∴PO=AO=BO=2，∠AOC=60°，

∴△APO是等边三角形，∴AP=2.

图1

图2

②如图3，∠APB=90°，

∵AO=BO，∠APB=90°，

∴PO=AO=BO=2，

又∠AOC=60°，∴∠BAP=30°，

图3

图4

③如图4，∠ABP=90°，

∵BO=AO=2，∠BOP=∠AOC=60°，

例3（2015·聊城，有删减）如图5，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：

图5

（1）（2）略.

（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.

【分析】在△OMN中，有一个角是确定的，就是∠MON，另外两个角是变化的.∠ONM由钝角逐渐变成锐角，它肯定在某一个时刻是90°，∠OMN由锐角逐渐变成钝角，它也存在着某一个时刻是90°，因此此题存在着两种情况：

①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；

②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可.

解：（1）（2）略.

（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下，分两种情况：

①若∠OMN=90°，如图6所示，则MN∥AB，此时OM=4-x，ON=1.25x，

∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，

图6

图7

②若∠ONM=90°，如图7所示，

则∠ONM=∠OAB，此时OM=4-x，ON= 1.25x，

∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，

∴△OMN∽△OBA，

同学们，解题有时之所以要分类讨论，是由于某些元素的不确定性，或说某些元素的多种可能性.例1中4可能是斜边也可能是直角边；例2中P点可能在OC上，也可能在OC延长线上，从而导致直角也有两种可能；例3中动点M、N都有可能是直角顶点.所以要想顺利解题，首先要认真审题，弄清图形产生的过程，确定不确定元素有哪些可能性，在直角三角形这一块，有关边，要分清哪条是直角边，哪条是斜边，有关角要分清哪个角是直角.

图8

小试身手

（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标.

（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由.

（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？

【提示】（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标.

（2）过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，然后分三种情况：

①若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2；

②若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2；

③若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2.

（3）略.

2.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-3，0），（3，0），点P在反比例函数y=足条件的点P的个数为（）.

A.2个B.4个C.5个D.6个

【提示】分∠PAB=90°，∠APB=90°，∠PBA=90°三种情况求点P的个数：

①当∠PAB=90°时，则P点的横坐标为-3，由反比例函数图像上点的坐标特征容易得到P点有1个；

③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，此时P点有1个.

（作者单位：江苏省盐城市明达中学）