丁丽

“鸡兔同笼”问题的教学及思考

丁丽

环节一：（课前交流）初步体会用“双轨迹”解决生活实际问题的方式。

师：丁老师想在我们班找出这样的同学：（课件出示）文章写得好、唱歌也很棒。他需要满足几个条件？

生：两个，分别是会写文章、会唱歌。

师：上课之前，老师分别找我们班的语文老师和音乐老师要到了两份名单，分别是文章写得好和唱歌很棒的同学名单。接下来，这个问题可以解决了吗？怎样解决？

生：看两份名单上是不是有相同的名字，如果有，就说明找到了满足两个条件的同学。

师：正如你们所说的，只要两份名单上有相同的名字，就代表他同时满足两个条件。我在想，有没有可能只要一份名单？比如，我只找语文老师得到了一份名单。这个问题可以被解决吗？

生：不可以，只满足一个条件呢。

师：真是这样的吗？我来看看这份名单，（假装拿着一份名单，走到一个小组面前，逐一问学生）名单上第一个是张小三。我采访一下张小三，请问你歌唱得好吗？（生1腼腆地摇头）他很谦虚，没关系，我继续找。我找到李小四，小四同学你唱歌很棒吧？（生2也不好意思地摆摆手）那么，像这样，把名单上的人一个个找下去，当然他们客观地回答我的问题的话，既满足“文章写得好”也满足“唱歌也很棒”的同学能被找到吗？

生：能。

师：是的。现在我们一起梳理刚才这个问题的解决过程。（从两个条件到两种问题解决方式进行回顾和整理）其实，像这样解决生活中问题的方法，还能解决一些复杂的数学问题呢！来，一起看看吧。

环节二：（初步尝试）学习用“双轨迹”的方式解决基本的“鸡兔同笼”问题。

1.分析题意

课件出示条件：鸡、兔共有9个头，28条腿。

师：你知道题目说的是什么意思吗？

生1：鸡和兔一共有9只，共有28条腿。

生2：这里还有一个藏起来的条件。每只鸡2条腿，每只兔4条腿。

师：分析得很到位。那么题目要求的问题我想大家也一定能想到。（出示问题：鸡、兔各有几只？）我突然发现，这个问题和我们刚才找“文章写得好、唱歌也很棒”的同学有一些类似，什么地方类似呢？请同桌互相讨论一下。

生：都有两个条件。（师按照学生的描述板书）

2.带领学生共同解答

师：9只动物和28条腿，这两个条件哪个更容易满足？举个例子试试看。

生3：我觉得头数更容易满足。算总腿数，还要考虑一只鸡有2条腿，一只兔有4条腿。

生4：鸡3只、兔6只，满足一共9只动物。

师：分析事情有理有据，真不错！像这样满足9只动物的情况，只有一种吗？谁能有顺序地罗列出来？（根据学生的回答一一板书，特别讨论鸡4只、兔5只与鸡5只、兔4只是否为同一种情况）现在，我们将鸡、兔共9只的情况按一定的顺序列举出来了。那么，这9种情况中，有没有两个条件都符合的呢？是哪一种？接下来，我们应该做些什么？

生5：刚刚我们满足了9个头的条件，接着可以看哪种情况是28条腿。

师：他的分析有道理吗？那我们该怎么确认哪一种情况是28条腿呢？第一种情况鸡1只、兔9只满足吗？

生6：用1乘2加上9乘4，算出总腿数是38，所以不符合。

师：接着怎么办？

生6：再往下算。（学生一一推算，直到找到总腿数为28的情况，并且在推算过程中发现每增加1只兔、减少1只鸡，总腿数减少2及其原因，过程略）

3.小结问题解决的步骤，构建问题解决的结构

师：用之前找满足两个条件的同学那样的方法，能把数学问题解决好吗？

生：能。

师：现在我们回顾一下刚才解决问题的办法。同桌互相说一说我们做了哪些工作。

学生互议后，教师带领学生一起梳理，然后独立解决问题：（课件出示）2元纸币和5元纸币共12张，共39元，两种纸币各几张？

学生板演，教师引导学生一起分析。

环节三：（拓展提升）体验用“双轨迹”的方式解决复杂的“鸡兔同笼”问题的普适性。

1.体会问题在形式上的变化

（课件出示）：鸡比兔多4只，鸡和兔的腿共38条，鸡、兔各几只？

学生先讨论并寻找题中隐藏的两个需要同时满足的条件，然后分小组合作并在集体反馈中谈解题感受，进一步体会用“双轨迹”解决问题的方式。

2.渗透文化

教师引导学生探讨“鸡兔同笼”问题的历史，渗透数学文化。用“双轨迹”的方式作正三角形，进一步体会用“双轨迹”的方式解决问题的价值。

3.留有余味，布置课后学习任务。

课件出示：张晓明和李亮在一起谈论年龄。李亮今年的年龄是张晓明的4倍，李亮4年前的年龄是张晓明的7倍。你知道他们两人今年各几岁吗？

教学思考：

“鸡兔同笼”问题是我国古代名题，很多教材都引入了这个问题。这个问题的解题方法很多，对这个问题的教学研究也很多，可谓各美其美。新人教版四年级下册数学教材“数学广角”中呈现了三种方法：猜测尝试、列表和假设法。前人的研究中体现出一个共识，那就是教学“鸡兔同笼”不仅是让学生学会解决这个问题，更重要的是让学生受到数学思想方法的熏陶。至于具体受到何种数学思想方法的熏陶则各有各的看法，而我侧重模型思想。模型具有概括性，教材涉及的例题和练习题虽在情境上大不相同（龟鹤、租船、车轮等），但在模型意义上完全一致。波利亚在其名著《数学的发现——对解题的理解、研究与教学》中提到了“双轨迹”模型，并用这一模型概括了包括鸡兔同笼在内的系列问题：解决这类问题相当于寻找同时满足两个条件的对象。先满足其中一个条件，即用一一列举的方法罗列所有满足的情况（亦可先按顺序部分列举或折中列举），再寻求也满足第二个条件的情况，问题得以解决。本课自始至终贯彻这一原则。当然，从代数的角度理解“双轨迹”模型，即是解方程组。但作为渗透或者传递数学思想方法的题材，更朴素的意义在于让学生感受到用简单易懂的方法解决复杂问题的力量。因此，本课弱化了在列举中凸显列举与假设的关联，而重在学习具有朴素意义的问题解决方法，可以将学生从解决一个问题引向解决一类问题。数学是丰富多元的，带领学生获得解决问题的普适性方法，不论对保持学生的学习兴趣，还是提升学习信心及学习质量都是有积极意义的。

（作者单位：长沙市岳麓区博才寄宿小学）

点评：“鸡兔同笼”是经典问题，其解法很多，典型的有列举法、假设法、方程法等。据说有专家就解决“鸡兔同笼”问题的上述三种方法分别向小学数学老师、中学数学老师和大学数学老师作调查，问他们各自最喜欢哪一种。结果显示：小学数学老师最喜欢假设法，中学数学老师最喜欢方程法，大学数学老师最喜欢列举法。小学数学老师喜欢假设法不难理解，因为这种方法特别符合我们对解题的审美标准：思路清晰，表达有条理，一个一个的算式，前面算式运算的结果是后面算式的运算对象，最后一个算式的运算结果就是问题的答案。中学数学老师喜欢方程法也是理所当然，方程是中学数学老师教学的看家本领之一。可为什么大学数学老师会喜欢列举法呢？列举法看起来是那么笨拙，那么低效，甚至看不出多少思维含量。与之相对的，我们似乎有很“漂亮”的解法。比如一个段子所描述的：大体是说，以“鸡、兔8只，脚26只”为例，吹一声口哨，鸡、兔均抬起一只脚，还剩18只脚，再吹一声口哨，鸡、兔再抬起一只脚，此时还剩10只脚，可鸡已经一屁股坐地上了，兔子还有两只脚站着，于是兔子有5只。这样的解法多漂亮，多有趣？

其实，解决问题的方法有通法和巧法之分。一般而言，适应范围广、思路自然、易被推广的方法为通法，适应范围窄、思路奇特的方法为巧法。从这个角度而言，方程法和列举法无疑是通法，那个抬脚法则是巧法。假设法应介于这两者之间。于是，我们可以理解大学数学老师之所以选择列举法，是基于对通法的价值认同。当然，在此也需说明，巧妙的解法有其独特的价值，比如激发兴趣等。但我们需要认识到的是，很多巧法的价值恰恰不在解决问题。

丁老师的课，在关注通法（即列举法）的基础上又向前走了一步：将列举这一具体的方法与“双轨迹”模型结合起来。这是很有价值的一步。一方面，在“双轨迹”模型的指导下，如何列举？列举是如何解决这个问题的？这些都得到了很好的诠释。另一方面，在这一节课中，学生对模型会有更好的认识。之前，学生也许能意识到“鸡、兔8只，脚26只”只不过是一类叫“鸡兔同笼”问题的特例。而今天认识了“双轨迹”模型，学生会认识到，“鸡兔同笼”问题也只不过是这一模型的一个特例而已。有了这种认识，学生能解的就不仅仅是“鸡兔同笼”问题或其平凡推广后的问题了（所谓平凡推广，是指在数量关系不变的前提下，将“鸡兔同笼”问题通过改变一下情境而变成一个新的问题），而是能解决一系列看起来完全不同的问题。这种认识的形成当然不是一朝一夕的，其形成过程恰恰是这种课堂的一次又一次熏陶的过程。

（长沙市教育科学研究院张新春）