赵晶，蒋良潍，罗强，骆飞，孔德惠

(1.西南交通大学 土木工程学院，四川 成都 610031；2.高速铁路线路工程教育部重点实验室，四川 成都 610031)



边坡可靠度分析中岩土合理样本数目探讨

赵晶1,2，蒋良潍1,2，罗强1,2，骆飞1,2，孔德惠1,2

(1.西南交通大学 土木工程学院，四川 成都 610031；2.高速铁路线路工程教育部重点实验室，四川 成都 610031)

摘要:土工参数由有限样本数目勘察取样试验结果的估计推断而得到，统计不确定性将对可靠度分析结果带来误差，因此合理样本数目应体现分析结果精度与勘察费用间矛盾的协调。基于从土工参数总体分布中随机抽样的方法模拟某一样本容量下的勘察取样试验，以120次重复抽样构建样本统计值空间，分析样本统计值及对应边坡可靠度指标的离散特征。根据样本容量对可靠度指标计算结果空间散布范围的约束效应，探讨土工强度参数变异水平呈小、中和大3个等级时相对应的合理样本数目。计算分析表明：样本数目增加可减小可靠指标分布的离散程度，土工参数变异性增大则反之；为保证可靠度分析结果精度，在土工参数变异性增大条件下须相应增加样本数目；可靠度指标变异系数取0.30时，对应于参数呈小、中和大变异水平的样本数目分别为6，11和18。研究成果对完善工程勘察中的土工试验取样数目有一定参考价值。

关键词：边坡可靠度分析；样本数目；统计不确定性；可靠度指标；散布范围；变异系数；随机抽样

边坡稳定性是岩土工程涉及的重要内容之一，以概率理论为基础、考虑各种不确定性的可靠度设计方法已开始进入实用阶段。可靠度分析中，土工参数的不确定性主要可分为2类，即土体本身固有变异性和系统的不确定性[1]。前者源于长期地质生成作用，变异性客观存在，但如果进行大量样本勘察试验，则能准确得到土工参数的分布特征。后者包括统计不确定性、试验不确定性和模型不确定性。其中，统计不确定性是由于样本数目有限，导致采用样本统计值对总体分布概型及参数的估计不尽准确，呈现统计值围绕真值散布的现象，从而影响可靠度分析结果的精度。通过勘探取样获取强度指标可看作从总体中随机抽取样本的过程。岩土参数固有不确定性从数学角度可以用连续分布的随机变量加以描述，勘察数据是从中进行的有限样本容量的抽样。由于资金、时间、试验条件等因素限制，工程实际中仅能得到较少的样本个数，通过样本数据推断的概率分布与真实分布间存在偏差，岩土参数统计值偏离真值，样本容量越少，偏差在概率意义上越显著。保证边坡稳定可靠度分析结果精度应建立在准确的分布概型和总体参数的基础上，以小样本统计值代入可靠度计算会相应引起偏差。由于抽样随机性，每批次抽样的计算结果具有差异，造成结果离散，可信度不高。但随着样本容量增大，这种差异会逐渐减小。因此，在满足边坡设计可靠度的精度要求条件下，通过约束结果散布范围确定样本数目成为一个亟待解决的问题。谭晓慧等[2]通过理论推导和算例分析研究了试验数量对可靠指标相对误差的影响，得出试验数量增大能减小参数均值相对误差，提高可靠指标精度。但研究只考虑了样本均值的影响而忽略了方差问题。米君楠[3]针对标准边坡，通过控制c和φ平均值随机生成不同容量的小样本，研究样本容量对破坏概率影响，得出合适的样本容量为100。但样本容量过大，在工程实际中难以操作，同时没有针对参数变异性进行研究。吴振君等[4]针对只考虑不排水强度的均质边坡，通过可靠度结果集中程度的直方图观察样本数目的影响，得出随参数变异性增大，样本数应减少，同时建议参数变异系数在0.2～0.5范围内，样本数取10～15。但是计算模型未考虑φ参数，以20批次抽样得到的数据容量也较小。因此有待于制定更标准化的方法确定合理样本数。针对普通均质边坡，对各变异水平下c和φ参数进行不同样本容量模拟抽样，重复抽取120批次构建较完备的样本统计值空间，基于Fellenius法的Monte-Carlo可靠度分析，形成可靠指标计算结果空间，根据不同样本容量对结果离散性的影响，通过控制可靠度指标变异程度，探讨不同土工参数变异水平下对应的合理取样数目。

1确定最小样本数目的传统参数估计法

以样本信息推断总体特征的前提是样本统计量的抽样分布。样本均值的统计特征为，大样本时呈正态分布，小样本情况下若方差已知呈正态分布，反之呈t分布。描述样本方差的抽样分布有单个样本方差的χ2分布和2个独立样本方差比的F分布。

1.1样本均值t分布理论确定最小样本数目

小样本条件下研究样本数目与参数均值估计误差关系一般应用t分布区间估计理论。高大钊[6]通过大量试算总结出95%置信水平下，样本数目n≥6时样本均值相对误差可小于3%，满足实际工程的精度。由此得到的样本容量为国内建筑边坡工程技术规范[7]及其他土木工程行业规范关于样本数目的制定提供了借鉴。董教社等[8]也运用t分布理论针对不同土层不同物理指标的实际变异性系数提出了合理子样数。

根据t分布函数，引入反映相对离散程度变异系数δ，经变换得到样本均值的相对误差Δr算式：

(1)

文献[10]建议岩土工程中置信水平1-α和容许误差Δr的取值(见表1)。高大钊等[9-12]总结出岩土参数c的变异系数范围为0.19～0.55，φ为0.05～0.40。根据式(1)采用δ=0.2，0.3和0.4，得到t分布理论下不同变异系数和置信水平对应的最小样本数目，见表1。

表1t分布确定的最少样本数

Table1Minimumnumberofsamplesaccordingtothetdistribution

相对误差置信水平最少样本数δ=0.2δ=0.3δ=0.40.100.901326450.100.95183761*0.100.993161*120*

注：n>50时，t分布用正态分布近似。加*数据为正态分布计算。

1.2样本方差χ2分布理论确定最小样本数目

采用t分布理论只能考虑参数均值因素，但忽略方差问题。应用χ2分布理论可研究样本数目对参数方差估计误差产生的影响，经χ2函数变换，样本方差的相对误差为Δr′：

(2)

取与表1相同的置信水平和相对误差，根据式(2)计算得到χ2分布理论下的最少样本数目，如表2所示。

表2χ2分布确定的最小样本数

Table2Minimumnumberofsamplesaccordingtotheχ2distribution

置信水平0.900.950.99最少样本数117134140

对比表1和表2可以看出，在相同的置信水平下，若要保证样本估计得到的方差具有与均值相同的相对误差，需大大增加样本数目。

1.3传统参数估计法的不足分析

文献[13]研究发现，在标准差相差不大、平均值差异明显的情况下，数据分布曲线形状大致相同，但曲线中心位置不同，相当于将曲线作近似整体平移，导致可靠度分析结果产生差异。而在标准差差异明显、平均值差异较小的情况下，数据分布曲线的中心位置基本相同而形状的扁平程度不同，也会导致可靠度分析结果产生误差。因此均值、标准差均对可靠度计算结果产生影响，并且可靠度计算结果对方差比对均值更加敏感[14]。

以上分别基于t分布和χ2分布理论分析了样本数目与参数均值及与参数方差的相对误差关系，实际只分别考虑了样本均值或方差的估计而忽略另一统计参数问题。更重要的是，这类估计方法只是停留在分析土工参数的层面上，并没有考虑土工参数(自变量)和可靠度分析结果(因变量)之间复杂映射关系对取样数目造成的影响。同时计算出的结果偏大，实际中的可操作性不大。

由此需要针对不同参数变异性，同时考虑样本均值和方差的影响，直接对由样本参数得到的可靠度分析结果(因变量)进行分析，根据样本容量对可靠度指标计算结果空间散布范围的约束效应，反推出合理样本数，体现可靠度分析结果精度与勘察费用间矛盾的协调。

2随机抽样分析法及计算模型

2.1分析思路

工程实际中，计算参数通过容量为n的样本统计值得到，由此计算的可靠度结果与样本统计参数值为一一对应关系。在样本容量较小情况下，若另抽一批次n个试样加以统计，计算结果又会不同，即统计不确定性造成的结果离散性。仅容量n足够大时，不同批次抽样的计算结果才趋于相等，可靠度真值由土体固有变异性决定，统计不确定性影响消失。由此，多批次抽样下样本数量与可靠度计算结果散布范围间呈现某种约束关系，结果的散布范围越小则任一批次抽样计算的可信度才越高。

分析技术路线为：1)根据1.1中已有研究所总结的土工参数变异性范围，划分出不同变异性水平，通过Matlab生成各变异水平下的参数总体(数据容量为N)，以反映土工参数固有不确定性；2)给定样本容量n，以随机抽取法模拟一批次勘探取样，以反映统计不确定性，并运用Fellenius法进行Monte-Carlo分析，由样本统计值计算得到对应的一个可靠度结果；3)进行m批次大量重复抽取，构建数据容量均为m的样本统计值空间及对应的可靠指标计算结果空间，使其能包含勘测取样试验及可靠度计算结果的所有可能性；4)变化样本容量n，得到对应可靠度计算结果空间，针对空间中可靠度指标分布的离散性特征展开分析，通过对比土工参数变异水平下不同样本容量对可靠度结果的约束效应，确定合理样本数目。

为提高模拟效率，随机抽样方法采用LHS抽样(拉丁超立方抽样)。LHS抽样是一种分层抽样方法，合并了随机抽样和分层抽样的优点，是最好的小样本模拟方法之一[15]。

2.2计算模型及参数固有变异性等级划分

建立坡高8m，坡比1∶1.5的均质边坡模型，利用对称性取1/2边坡进行分析，如图1所示。以铁路工程为例，《铁路地基处理技术规程(TB10106-2010)》[16]规定路堤稳定安全系数Fsk设计值为1.25，当列车设计行车速度处于120km/h与200km/h之间时，在营运期Fsk不得小于1.25。暂以Fsk=1.25为条件进行可靠度计算，其中极限平衡分析方法选用铁路工程技术规范采用的Fellenius法。

图1　均质边坡模型几何要素Fig.1 Geometry elements of uniform slope model

变异系数刻划了岩土参数变异性的大致范围，为便于实际应用，将变异性按变异系数大小进一步划分出不同水平，有助于定量地细化评价岩土参数的变异特性。根据1.1中所述文献[9～12]，将土工参数的变异性水平划分为小、中和大3级，如表3所列。由于土体容重γ的变异性很小，变异系数δr<0.1，故不再进行等级划分，计算时按定值考虑。

表3土工参数变异性水平分级及计算取值

Table3Levelofvariationforgeotechnicalparametersandcalculatingvalues

变异水平δφ取值范围δφ计算取值δc取值范围δc计算取值小变异0.05～0.150.10.20～0.250.2中变异0.15～0.250.20.25～0.350.3大变异0.25～0.400.30.35～0.550.4

2.3土工参数的样本统计值空间构建

拉丁超立方抽样可以避免相同的模拟循环，同时保证所有区间都被抽样点覆盖[17]，如图2所示。利用Matlab软件中lhsnorm(mu,sigma,N)函数实现正态拉丁超立方抽样，其中mu为参数均值，sigma代表参数标准差，N为总体个数。

当安全系数Fsk=1.25时，通过试算得到一组c和φ取值配对为(10kPa，21.71°)，假设c和φ服从正态分布、相互独立。容重γ取固定值20kN/m3。变异系数取值参照表3。参数总体个数取N=5 000。由此可生成大、中和小3种变异水平5 000组参数总体。

图2　4×4的Latin方Fig.2 Latin hypercube of 4×4

利用“3σ原则”剔除总体中的无效数据。3种变异水平下参数c和φ相关系数分别为0.002 2，0.000 4和0.002 3，可认为c和φ相互独立。显著性水平α=0.05下利用K-S检验[18]分别对c和φ参数总体进行正态分布假设检验，验证了参数的分布形态服从正态分布。

从生成的呈不同变异水平的5 000对参数总体中分别随机抽取容量n分别为6，10，15，20，30和50的样本，并且均重复抽取m次，由此在不同参数变异水平和样本容量条件下得到由m组样本数据构成的土工参数样本统计值空间。

2.4重复抽样次数m值的确定

按不同的重复抽样次数计算参数均值的相对误差，观察样本空间大小对均值相对误差的影响。以土工参数呈大变异水平为例，相对误差见表4。

表4　大变异参数条件下c均值相对误差

注：/左、右侧数据分别为c值均值相对误差和值均值相对误差。

由表4可知，不同重复抽样次数得到的参数均值相对误差各异，但是与真值存在较小的误差，都控制在5%以内，是可接受的范围。

同时按不同的重复抽样次数计算参数标准差，观察样本空间大小对参数标准差的影响，以土工参数呈大变异水平为例，如图3～4所示。

图3　大变异时不同抽样次数与c标准差关系Fig.3 Relationship between sampling times and standard deviation of c(large variation level)

图4　大变异时不同抽样次数与φ标准差关系Fig.4 Relationship between sampling times and standard deviation ofφ(large variation level)

图3～4表明，重复抽样次数对参数标准差产生较大影响。当重复次数较少即样本空间较小时，由于随机抽样误差的影响，强度参数的标准差变化出现大幅度波动。当抽样次数m增加到100～120次时，标准差趋于稳定。

通过不同抽样次数条件下均值和标准差的分析，表明抽样次数m达到120次时构建的样本统计值空间趋近完备：相对误差控制在5%以内，标准差趋于稳定，即可近似认为此时的抽样结果已经能包含工程实际中勘测取样试验的所有可能性。

2.5样本统计值空间特征

图5　黏聚力c的均值与标准差的散点图Fig.5 Mean and standard deviation of cohesion

图6　内摩擦角φ的均值与标准差的散点图Fig.6 Mean and standard deviation of φ

3边坡可靠度指标结果空间分析

3.1可靠度指标结果空间

在不同的样本数目条件下，对计算得到的120组可靠指标结果空间数据进行统计分析，观察样本数目对可靠指标结果集中程度的影响。以大变异参数条件为例，如图7所示。可以发现，样本数目越大，由多次抽样数据计算得到的可靠指标离散程度越小。

图7　可靠指标散点图Fig.7 Scatter plot of reliability index

3.2可靠度指标的概率分布类型

在显著性水平α=0.05下用K-S检验对可靠指标进行常用的概型(选取正态分布、对数正态分布分析)假设检验，得出可靠指标的最大Dn，与显著水平0.05上的临界值Dn0.05进行对比，确定最佳分布类型。若检验得到Dn小于Dn0.05，则认为数据服从假设的分布类型。表5为正态分布检验和对数分布检验的结果。

表5　K-S检验结果Dn

注：/左、右侧数据分别为正态分布和对数正态分布检验结果。

从假设分布检验结果来看，可靠指标服从正态分布，同时接受对数正态分布。对比2种分布检验结果，大多数对数正态分布检验结果Dn比正态分布小，因此可认为不同变异水平下可靠指标的最佳分布类型为对数正态分布。

4勘察样本数目确定

4.1土工参数变异性与样本容量影响规律

在不同的参数变异水平条件下，统计各样本容量对应的可靠指标分布的均值与标准差，如图8～9所示。

图8　不同样本容量的β均值Fig.8 Average ofβfor different sample number

图9　不同样本容量的β标准差Fig.9 Standard deviation of β for sample number

图8表明，土工参数变异性对可靠指标均值影响较大，而样本容量对可靠指标均值则影响较小。在土工参数处于小变异情况下边坡可靠指标β均值在2.0～2.5范围内；在中等变异时，对应的β均值在1.0～1.5范围内；大变异水平时，β均值在0.5～1.0范围内。不同样本容量计算的可靠指标均值差异不明显，接近真实可靠指标。仅在参数呈小变异，样本容量为6～15时，抽样计算的可靠指标均值与真实值有较大差异，但相对误差也只有10%。而由图9可知，样本容量对可靠指标的方差影响显著。土工参数变异性一定时，样本容量越大，可靠指标方差减小，集中程度增大。

4.2基于可靠度离散特征确定样本数目

在不同的参数变异水平条件下，考虑样本数目对可靠指标均值和标准差的影响，由各个样本容量对应的可靠指标均值和标准差计算得到相应的变异系数，用归一化的变异系数反映可靠度分析结果的离散程度，见图10。

图10　不同样本容量的β变异系数Fig.10 Variation coefficient of β for sample number

图10表明，样本数目增加可减小可靠指标分布的离散程度，但土工参数变异性增大则会增大可靠指标分布的离散程度。样本数为10时，小变异水平的土工参数对应结果的变异性只有0.23，而土工参数变异性增大到中、大变异水平时，结果变异性增加至0.31和0.38，离散程度增大；当样本数由10增大到50时，小、中和大变异水平的参数对应结果的变异系数降至0.1，0.15和0.17，离散程度大大降低。由此，为保证可靠度分析结果精度，在土工参数变异性增大条件下须相应增加样本数目。

由可靠指标变异性随样本容量变化的趋势推断，只有在样本容量足够大时，才能得到不同土工参数变异水平对应结果的精确解。然而，样本容量的确定不能只满足结果精度要求，同时也要符合工程实际中取样有限的特点。因此合理样本数目的选取需要协调结果精度与勘察费用的矛盾，在控制结果精度在一定范围的同时，又不造成勘察费用的浪费。

控制结果变异系数为0.30，0.25和0.20，由图10确定各个变异水平等级的参数对应的样本数。如表6所示。

表6不同变异水平等级的土工参数对应的样本数

Table6Numberofsamplecorrespondingtothedifferentlevelsofsoilparameters

可靠指标变异系数小变异中变异大变异0.30611180.25915200.20152030

5结论

1)物理不确定性是天然存在的，主要影响可靠度真值大小。统计不确定性是由于小样本取样试验人为造成的，影响可靠度分析结果围绕真值的离散程度。减小统计不确定性是提高可靠度分析结果精度的关键。

2)样本数目对可靠度分析结果离散程度影响显著。土工参数变异性不变时，样本数目增多，结果的离散程度降低；参数变异性增大，若结果达到与小变异性下相同的离散程度，则所需样本数增大。

3)确定了土工参数在不同变异水平下，可靠指标变异系数取0.30，0.25和0.20时对应的样本数目。参数呈小变异水平时，对应样本数为6，9和15，中、大变异水平时样本数目宜分别提高为11，15和20及18，20和30。研究成果对完善工程勘察中的土工试验取样数目有促进作用。

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* 收稿日期：2015-09-09

基金项目：国家重点基础研究发展计划(973计划)项目(2013CB036204)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2682014CX064)

通讯作者：蒋良潍(1974-)，男，四川成都人，副教授，博士，从事路堤边坡可靠度的研究；E-mail: 154999419@qq.com

中图分类号：U213.1

文献标志码：A

文章编号：1672-7029(2016)06-1053-08

Study on the geotechnical number of samples in slope reliability analysis

ZHAO Jing1,2，JIANG Liangwei1,2，LUO Qiang1,2，LUO Fei1,2，KONG Dehui1,2

(1.SchoolofCivilEngineeringSouthwestJiaotongUniversity，Chengdu610031，China;2.MOEKeyLaboratoryofHigh-speedRailwayEngineering，SouthwestJiaotongUniversity，Chengdu610031，China)

Abstract:Soil parameters were estimated by the survey test of limited sample number and its statistical uncertainty would lead to the error of reliability analysis. Thus a number of samples should be considered in terms of survey cost and precision. Based on the method of random sampling from the total soil parameters to simulate the survey under certain sample number, the sample statistical value and the discrete features of slope reliability index correspondingly are analyzed with 120 times sampling. Based on the influence of sample number on discrete features of slope reliability index, the number of sample corresponding to three levels of soil parameters is discussed. The analysis result shows that the increased number of samples would lead to the small dispersion degree of reliability index, and the increasing variability of parameters would tead to the opposite result. In order to ensure the accuracy of the results, the number of sample should increase with the increase of reliability index of soil parameters. According to small, medium and large variation levels of soil parameters, the required number of samples are found to be 6, 11 and 18 seperately when the coefficient of variation is 0.30. Research provides reference on the soil test of engineering survey.

Key words：slope reliability analysis; number of samples; statistical uncertainty; reliability index; discrete range; coefficient of variation; random sample