王晓媛 刘雅坤 禚彩萍

中国石油大学(华东)

一类线性微分方程的整函数解

王晓媛 刘雅坤 禚彩萍

中国石油大学(华东)

整函数解；微分方程；Nevanlinna 理论

一、背景

19世纪20年代，Nevanlinna提出了整函数和亚纯函数值分布理论，为复微分方程的研究提供了有力工具。1933年，K.Yosida利用该理论对一些微分方程进行了研究，同时给出了J.Malmquist在1913年提出的著名理论的新的证明和推广。从1950年开始，H.Wittich利用Nevanlinna理论深入系统地研究微分方程[3,4,7]。

在讨论复域上的微分方程时，证明所给微分方程的整函数解或亚纯解的存在性和唯一性总是很有趣却又非常困难的。最近，关于多种类型的微分差分方程的整函数解和亚纯解的存在性、增长性，有很多成果[1,2,6]。

二、引言

首先，回顾一些关于二阶齐次线性周期微分方程的结论：

f''+P(ez) f'+Q(ez) f=0，其中，P(ez)、Q(ez)均为ez的多项式，且不同时为0。上述方程的所有解均是整函数。

近年来，很多作者已经探究了二阶线性微分方程整函数解的零点、增长性以及相关问题[5]，主要涉及的线性微分方程的形式为：f''+e-zf'+Q(z) f=0，其中，Q(z)为有限级整函数。

三、正文

1.主要的引理

定义1.1[4]:设f是一个非常数亚纯函数，T(r, f )=N(r, f )+m(r, f ),r＞0是f的特征函数。

引理 1.1[8]:令h是一个非常数整函数，且f(z)=eh(z)，那么就有：(1)当h(z)是一个p次多项式时，ρ( f )=μ( f )=p；(2)当h(z)是一个超越整函数时，ρ( f )=μ( f )=∞；(3) ρ2( f )=ρ(h)。

注1.1:从引理1.1和例1.1可以看出，对任意非零常数c和正整数p，函数f(z)=exp(czp)的超级为p，函数g(z)=exp(cez)的级为无穷大，超级为1。

引理1.4[8]:令h是一个非常数整函数，且f(z)=eh(z)，那么(1) T(r,h)=o(T(r, f ))(r→∞)；(2)T(r,h' )=S(r, f )。

引理1.5[8]:假定f和g是非常数亚纯函数，使得ρ(f)＜μ(g)，那么T(r, f )=o(T(r, g))(r→∞)。

引理1.6[8]:令f和g是亚纯函数，使得T(r, f )=O(T(r, g))(r→∞, rE)，其中E是有限度量的集合，那么ρ(f)≤ρ(g)。……