黄翱　　杨大尉　　郑健

(广西大学土木建筑工程学院，广西南宁　530004)



基于有限元理论的含裂纹结构1/4奇异单元计算分析

黄翱杨大尉郑健

(广西大学土木建筑工程学院，广西南宁530004)

摘要:介绍了ANSYS中1/4奇异单元的构造，采用1/4奇异单元进行了算例计算，并将结果与解析解作了对比，分析了该奇异单元的精度与应用范围，得出了采用奇异单元进行断裂分析的特性。

关键词:1/4奇异单元，有限单元法，断裂分析，应力强度因子

随着现代高强材料和大型结构的广泛应用，一些按传统强度理论和常规方法设计、制造的产品，发生了不少重大断裂事故。如20世纪50年代，美国北极星导弹固体燃料发动机发射时发生低应力脆断;1965年，英国某大型合成塔在水压试验时断裂成两段。事后的调查分析都指出事故起源于构件中的裂纹。

在分析裂纹的理论中，传统的强度理论通常按照式(1)进行计算:

从式(1)可以看出，传统强度理论并没有考虑材料中是否有缺陷，对有缺陷的材料，传统强度理论往往不能对安全可靠性做出正确的判断。因此有必要对裂纹区进行进一步详细的分析。

随着计算机技术的发展以及大型通用计算软件的出现，人们越来越多的将目光转向数值方法进行分析计算断裂问题。数值法能够模拟复杂的几何外形、边界条件以及荷载工况，结合先进的计算机技术，数值法得到了广泛应用，其中形成于20世纪60年代的有限元方法发展尤其迅速。为了解决由于裂尖应力应变r－1/2的奇异性造成的计算不准确的问题，诞生了断裂分析的特殊单元，该类单元通常自身应变场具备奇异性，其中以传统的1/4节点奇异单元最具代表性，它已发展出二维的8节点四边形奇异单元、6节点三角形奇异单元和三维的12节点四面体单元、20节点六面体单元。GRAY［1］对奇异单元进行了改进，在形函数中加入三次项，该形函数使单元位移在裂尖远场具有线性而在裂尖依旧保持奇异性，改进的奇异单元比普通奇异单元具备更高的精度。然而奇异单元依旧存在应力强度因子(SIF)的计算精度依赖于奇异区大小的人为选取、后处理麻烦的缺陷［2，3］，故应分析其适用范围及计算精度。

1　1/4奇异单元的构造

常见的四边形奇异单元法由8节点等参元将边中节点移至近裂尖1/4单元边长处，从而使单元的应力应变具有r－1/2的奇异性。

如图1所示，8节点四边形等参单元(角点i=1，3，5，7)，在单元局部坐标系Oξη中的形函数可以表示为:

上下边中间节点(i=2，6):

左右边中间节点(i=4，8)。

于是在边η=－1上有:

经过裂尖的径向线段123，如图2所示。

图18　节点等参元

图2　奇异性构造原理

在以裂尖O为原点的坐标系中，有:

在单元局部坐标系中有:

通过坐标变换可以得到该线段上任意一点的坐标为:

在式(8)中令l=1/4，则可得到:

在一维单元中，该线段上任意节点的位移可以插值表示为:

应变可表示为:

而:

因此:

所以有任意节点的应变为:

由式(14)可看出，当r→0时有ε→∞，即裂尖应变具有r－1/2的奇异性，在弹性范围内σ=Eε，应力在裂尖同样具备奇异性。ANSYS中将8节点四边形奇异单元的一条边压缩成一点，改进后任何沿裂尖出发的射线，其应力、应变都呈r－1/2的奇异性，构造的奇异单元如图3所示。

图3　2-D模型的奇异单元

2　算例分析

如图4所示两边有穿透裂纹的有限宽板，两端承受均布拉力f作用。材料弹性模量E=206×109Pa，泊松比μ=0．3，平板及裂纹尺寸如图4所示。分析Ⅰ型应力强度因子KⅠ与文献［4］中解析解的差异。

选用Plane82单元进行分析，该单元有8个节点，每个节点有2个自由度，分别为x和y方向的平移，既可用作平面单元，也可用作轴对称单元。Plane82单元具有塑性、蠕变、辐射膨胀、应力刚度、大变形以及大变异的能力，可以很好的模拟平板受力的平面应力问题。以a/b=0．2为例，这时的应力分布云图如图5所示。

图5　a/b=0.2时的应力分布图

为了分析对比有限元解与理论解，下面将a/b的值从0．1到0．65变化时有限元得出的KⅠ值与解析解得出KⅠ进行对比。结果列于表1中。

表1　不同裂纹宽度的KⅠ

由表1可以看出，数值解与解析解的误差稳定在8%～10%以内，同时对于两边有穿透裂纹的有限宽板，裂纹宽度的变化对于数值解与解析解的偏差影响不大，但在a/b=0．5时KⅠ的偏差有一个增大的突变，说明1/4奇异单元的解不是很稳定。

为了比较网格划分粗细对KⅠ计算结果的影响，在a/b=0．2时裂尖取不同数目的奇异单元进行计算各自的KⅠ并以解析解为基准进行误差分析。计算结果见表2。

表2　裂尖奇异单元数对KⅠ计算结果的影响

由表2可以看出，裂尖奇异单元个数对计算精度影响不大，即裂尖网格不必划分的很细即可得到稳定的结果。但同时数值解与理论解的偏差值始终在8%～10%之间，说明奇异单元的精度有待提高。

3　结语

本文通过详细介绍1/4奇异单元的构造过程说明其可以满足裂尖r－1/2奇异性的要求，因此能够应用到断裂问题的计算中。对比了用ANSYS中1/4奇异单元计算得到的Ⅰ型裂纹的应力强度因子KⅠ与解析解给出的KⅠ，并且分析了用奇异单元计算应力强度因子时裂尖划分不同单元数得出的KⅠ的差异;进一步给出了奇异单元进行断裂分析时的特性。结果表明:

1)1/4单元在裂尖可以不必进行精细的网格划分即可得到较准确的应力强度因子的值。2)不同裂纹长度进行断裂分析时，1/4奇异单元的计算结果可能不稳定，但偏差不是很大。3)1/4奇异单元计算的结果与解析解的偏差总是大于8%，即使细分网格也不能有显著提高，说明1/4奇异单元的计算精度有待改进。

参考文献:

［1］ L．J．GRAY，A．V．PHAN，Glaucio H．PAULINO．Improved quarter-point crack tip element［J］．Engineering Fracture Mechanics，2003，70(2):269-283．

［2］Pengcheng F U，Scott M．JOHNSON，Randolph R．SETTGAST，et al．Generalized displacement correlation method for estimating stress intensity factors［J］．Engineering Fracture Mechanics，2012(88):90-107．

［3］Toshiyuki MESHII，Katsuhiko WATANABE．Stress intensity factor error index for finite element analysis with singular elements［J］．Engineering Fracture Mechanics，2003，70(5):657-669．

［4］ 尹双增．断裂、损伤理论及应用［M］．北京:清华大学出版社，1992．

［5］ 王勖成．有限单元法［M］．北京:清华大学出版社，2003．

［6］程靳，赵树山．断裂力学［M］．北京:科学出版社，2006．

［7］ 王新敏．ANSYS工程结构数值分析［M］．北京:人民交通出版社，2007．

中图分类号:TU311

文献标识码:A

文章编号:1009-6825(2016)17-0034-03

收稿日期:2016-04-04

作者简介:黄翱(1989-)，男，硕士，工程师;杨大尉(1992-)，男，在读硕士;郑健(1990-)，男，在读硕士

On 1/4 singular element calculation and analysis of cracked structures based on finite element theory

Huang AoYang DaweiZheng Jian
(College of Architectural Engineering，Guangxi University，Nanning 530004，China)

Abstract:Based on the finite element theory，the paper introduces the 1/4 singular element calculation in ANSYS，undertakes the comparison between results and analytical solution，analyzes the accuracy and applied scopes of the singular elemnt，and concludes the features for the crack analysis of the singular element．

Key words:1/4 singular element calculation，finite element method，crack analysis，stress intensity factor