周立明，孟广伟，李　锋

(吉林大学 机械科学与工程学院,吉林 长春　130025)



界面裂纹的Cell-Based光滑有限元法研究*1

周立明，孟广伟†，李锋

(吉林大学 机械科学与工程学院,吉林 长春130025)

摘要：为提高求解含界面裂纹结构断裂参数的精度，基于界面断裂力学和Cell-Based光滑有限元法，提出了求解双材料界面裂纹断裂参数的Cell-Based 光滑有限元法，给出了求解应力强度因子的光滑子域交互积分法，对含中心界面裂纹双材料无限板进行了模拟，并与FEM计算结果和解析解进行了对比，讨论了光滑子元数和单元个数与正则应力强度因子的关系及其收敛性.数值算例结果表明该方法具有很好的收敛性和精度，可为研究人员和工程师设计制造多层材料提供必要参考.

关键词：光滑有限元法；界面裂纹；应力强度因子；交互积分

随着科学技术的发展，航空航天、机械工程和生物医学等领域对多层材料(如复合材料层合板、粘接接头、薄膜/基体系统)的需求日益增多.多层材料的整体力学特性和响应完全依赖于界面的性能.裂纹或类似裂纹缺陷往往出现在界面处，裂纹尖端的应力集中导致裂纹扩展或胶粘层脱黏.借助计算机模拟双材料界面裂纹能量释放率或应力强度因子[1]，可进一步得到界面裂纹力学性能失配及裂纹扩张机理，为研究人员和工程师预测材料的寿命及提升多层材料的应用空间奠定基础.

England[2]和Rice[3]的研究奠定了界面断裂力学的理论基础.对于含界面裂纹复杂结构的断裂参数的求解不得不借助于数值计算方法.Bjerkén[4]采用FEM对双材料界面裂纹问题进行了研究.Belytschko[5]等提出了研究界面裂纹问题的无网格法.Sukumar[6]等和江守燕[7]等基于扩展有限元，通过相互作用积分[8]求解了双材料界面裂纹的应力强度因子.姚振汉等[9]采用边界元对界面裂纹进行了模拟.Zhao[10]和Gao[11]等分别采用数值流形方法和无网格流形方法对双材料界面裂纹的断裂参数进行了求解.Pathak等[12]基于无网格法和扩展有限元法对界面裂纹的应力强度因子进行模拟.可见，采用数值计算方法求解界面裂纹的断裂参数是目前解决界面裂纹问题的主要手段.基于位移有限元求解的位移解偏小；边界元的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提；无网格计算效率低；扩展有限元在包含不连续界面的单元中需对间断函数进行数值积分，采用高斯积分求解时会存在较大误差.为提高求解精度，Liu等[13]将无网格法中的光滑应变措施[14]引入有限元，提出了光滑有限元法.光滑有限元法具有网格要求低、形函数简单、计算精度高等优点，目前已应用于很多领域[15-16]，但关于界面裂纹问题的光滑有限元法研究还未见报道.

本文基于光滑有限元法，结合界面断裂力学提出了求解双材料界面裂纹断裂参数的Cell-Based 光滑有限元法，计算应力强度因子时采用互交积分法，对无限大含中心裂纹的双材料板进行了模拟，并与FEM求解结果和解析解进行了对比.

1界面断裂力学

K=KI+iKII

(1)

图1　双材料界面裂纹

裂纹尖端处的应力σyy和τxy有：

(2)

式中：t为双材料参数，表达式为

(3)

式中：

(4)

其中：

(5)

其中：μs为材料s的剪切模量;κs为材料s的Kolosov常数.

J积分与应力强度因子的关系:

(6)

式中：

(7)

(8)

双材料界面裂纹尖端上半面位移渐近解[6]：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：(r，θ)为极点在右裂尖处的极坐标，Re和Im分别为取复数的实部和虚部，rit=eitlogr=cos(tlogr) +i sin(tlogr)，Q的表达式为：

(14)

下半面位移渐近解将-tπ代替tπ，用κ2代替κ1.

2Cell-Based光滑有限元法

该问题的光滑Galerkin弱形式可表示为：

∫ΓδuTfdΓ=0

(15)

广义位移为：

(16)

式中：qi为节点位移，Ni为形函数对角矩阵.

光滑应变为：

(17)

(18)

式中：Ac为第c光滑区域的面积，Ac=∫ΩcdΩ.

图2　光滑域的划分

将式(18)代入式(17)，由散度定理得

(19)

式中：Γc为光滑域Ωc的边界，m为积分段外法向向量.

将式(16)代入式(19)中，可得

(20)

式中：

(21)

式(20)和式(16)代入式(15)中，可得离散方程

Kq=F

(22)

式中：K为整体光滑刚度矩阵，可由光滑单元刚度矩阵组装得到

(23)

式中：ns为光滑子域的总数，F为力向量，

(24)

式中：φ为有限元形函数.

Cell-Based光滑有限元法推导过程中未对弹性矩阵D做任何约束，因此，Cell-Based光滑有限元法不仅适用于各向同性材料，同样适用于各向异性材料.

3光滑子域交互积分M

i=x,y,j=x,y,k=x,y

(25)

式中：δ1j为克罗内克函数；S为由曲线Γ，C+，C-和C0围成积分区域；在Γ上单位外法向向量Tj=-mj，在C+，C-和C0上Tj=mj；g为权函数.

图3　交互积分M

采用Cell-Based 光滑有限元法求解交互积分M(1,2)时，其表达式为：

(26)

图4　光滑子域交互积分M

由式(6)可知交互积分M(1+2)与应力强度因子的关系[6]为：

(27)

(28)

(29)

4数值算例

取一含中心界面裂纹无限大板，如图5所示，材料参数E1=10 GPa，E2=220 GPa，v1=0.3，v=0.257 1，h=l=30 mm，裂纹长度为2a，σ∞=1 MPa，平面应变问题，应变能可定义如下：

(30)

图5　中心界面裂纹板受拉伸作用

正则应力强度因子的解析解[3]如下：

(31)

式中：

(32)

由于结构和载荷对称，取右侧1/2模型，边界条件为约束左右两边水平向位移以及右下角竖向位移，离散成8 400个单元，每个单元划分为nc个光滑子元，表1给出了a=1 mm时，由Cell-SFEM计算得到的应变能和正则应力强度因子．由表1可见，本文方法具有很好的收敛性，光滑子元数为4时就可准确地求解界面裂纹右侧的正则应力强度因子.

表1　光滑子元个数与应变能和正则应力强度因子的关系

图6给出了1/2模型的应力σyy等势线和应变εyy等势线．可见，应力场几乎是连续的和关于x轴对称的，则应变场是不连续的，这种不连续是由于材料属性改变引起的.图6中应力场和应变场满足界面应力和应变分布情况.

图6　1/2模型的应力σyy等势线

图7和图8给出了裂纹长度为a=1 mm时，光滑子元个数为4时Cell-SFEM所求解的正则应力强度因子，并与FEM计算结果和解析解做了对比.图9和图10给出了裂纹长度a=0.4 mm,0.6 mm,0.8 mm,1.0 mm和1.2 mm时，结构离散为7 200个单元，每个单元划分为4个光滑子时，Cell-SFEM所求解的正则应力强度因子，并与FEM计算结果和解析解做了对比.由此可见，在相同单元数下，Cell-SFEM的计算精度高于FEM.

Elements

Elements

a/mm

.

a/mm

5结论

本文提出求解含界面裂纹问题的Cell-Based 光滑有限元法，对无限大含中心界面裂纹的双材料板进行了模拟，并与FEM计算结果和解析解进行了对比，得到以下结论：

1)在相同单元数下，Cell-SFEM的计算精度高于FEM.

2)Cell-SFEM具有很好的收敛性，光滑子元取4时就具有了较高的求解精度.

3)基于Cell-SFEM的交互积分M求解简单.

参考文献

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Research on Cell-Based Smoothed Finite Element Method of Interface Cracks

ZHOU Li-ming，MENG Guang-wei†，LI Feng

(School of Mechanical Science and Engineering, Jilin Univ, Changchun,Jilin130025, China)

Abstract:To improve the accuracy of the fracture parameters of interface fracture structure, based on the interfacial fracture mechanics and smoothed finite element method, Cell-Based smoothed finite element method was proposed to solve the fracture parameters of bi-material interface crack, and the smoothing cells of the interaction integral method was given to obtain the stress intensity factor. The central interface cracks of bi-material infinite plate were simulated, and the FEM calculation results and the analytical solution were compared. The relationships among the number of elements, the number of subdomain and normalization stress intensity factors as well as the convergence of the proposed method were discussed. Numerical example results show that this method has good convergence and high accuracy and can be designed and manufactured as necessary references for researchers and engineers in multilayer materials.

Key words:smoothed finite element method; interfacial cracks; stress intensity factors; interaction integral

文章编号：1674-2974(2016)06-0034-06

收稿日期：2015-07-25

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51305157),National Natural Science Foundation of China(51305157); 吉林省科技厅基金资助项目(20160520064JH)

作者简介：周立明(1982-)，男，吉林长春人，吉林大学副教授，博士 †通讯联系人，E-mail:mgw@jlu.edu.cn

中图分类号：TB115

文献标识码：A