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2类变形Sierpinski地毯的Hausdorff维数

2016-07-18单家俊龙伦海王司晨

关键词:海南大学圆心角维数

单家俊,龙伦海,杨 成,王司晨

(海南大学 信息科学技术学院,海南 海口 570228)



2类变形Sierpinski地毯的Hausdorff维数

单家俊,龙伦海,杨成,王司晨

(海南大学 信息科学技术学院,海南 海口 570228)

摘要:构造了圆心角小于180°的扇环与正方形之间的某种双Lipschitz映射,首先证明了若将经典Sierpinski地毯的初始图形正方形换成此类扇环,则得到的变形Sierpinski地毯与经典的Sierpinski地毯具有相同的Hausdorff维数;其次证明了若将初始图形换成圆心角小于180°的扇形,则其生成的变形Sierpinski地毯的Hausdorff维数也有同样的结果.

关键词:分形; 变形Sierpinski地毯;Hausdorff维数; 双Lipschitz映射

a                   b图 1 圆心角小于180°的扇环和扇形

首先将其初始图形换成圆心角小于180°的扇环,利用定比分点构造了此类扇环与正方形之间的双Lipschitz映射,从而证明了此类变形Sierpinski地毯的Hausdorff维数是log8/log3. 在此基础上证明了如果将其初始图形换成圆心角小于180°的扇形,则得到的分形集的维数也为log8/log3. 本文主要结果如下:

定理1设E和E′分别为上述生成的变形Sierpinski地毯,则dimH(E)=dimH(E′)=log8/log3.

1预备知识

定义1设Rn中的任意非空子集E,{Ui}为E的一个有限或可数个直径不超过δ的覆盖,E⊆∪Ui,则称{Ui}为E的一个δ覆盖. 设s≥0,称

为E的Hausdorff测度,称

dimHE=sup{s:Hs(E)=∞}=inf{s:Hs(E)=0}

为E的Hausdorff维数.

C1·d(x1,x2)≤D(f(x1),f(x2))≤C2·d(x1,x2)

成立,则称f是双Lipschitz映射. 对于双Lipschitz映射,有以下引理成立:

引理1[1]如果f为双Lipschitz映射,则dimHE=dimHf(E).

平面上扇环和扇形中,利用定比分点计算容易得到以下性质.

对于平面上的三角形,有以下性质成立.

为了证明本文的结论,还需要用到以下不等式.

性质40≤λ≤1,0≤θ≤π,不等式1-cos(λθ)-λ2(1-cosθ)≥0成立.

证明令f(θ)=1-cos(λθ)-λ2(1-cosθ),则

f′(θ)=λsin(λθ)-λ2sinθ,f″(θ)=λ2(cos(λθ)-cosθ).

因为函数y=cosx在[0,π]上是单调递减,0≤λ≤1,所以cos(λθ)-cosθ≥0,故f″(θ)≥0. 从而有f′(θ)在[0,π]上是单调递增,于是得到f′(θ)≥f′(0)=0,所以函数f(θ)在[0,π]上也单调递增,故f(θ)≥f(0)=0,不等式成立.

2定理1的证明

2.1E的Hausdorff维数根据引理1,如果能够构造一个双Lipschitz映射f,将正方形映射成扇环,且将由正方形分割生成的极限集映射为由扇环分割生成的极限集,则二者的Hausdorff维数相等. 下面构造双Lipschitz映射f.

定义映射f:f((λ1,λ2))=[λ1,λ2]. 显然映射f是双射,且对所有的0≤λ1,λ2≤1,f将正方形映射为扇环.

现在需要证明:1)映射f为双Lipschitz映射;2)映射f将由正方形分割生成的极限集映射为由扇环生成的极限集E.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

结合式(5)和(6),故存在常数C1,C2>0,使得不等式

成立,于是f为双Lipschitz映射. 因为经典Sierpinski地毯的Hausdorff维数[1]为log 8/log 3,故由扇环分割得到的分形集E的Hausdorff维数也为log 8/log 3.

现在证明E′的Hausdorff维数也为log 8/log 3.

(7)

diam(Pk)≤2D03-k,diam(Qk)≤2D03-k.

又因为 ∀0<δ<1,存在k0,使得2D03-(k0-1)≤δ≤2D03-k0,根据Hausdorff维数的定义,有

令δ→0,得到Hlog 8/log 3(E′)≤(2D0)log 8/log 3,故dimH(E′)≤log 8/log 3.

另一方面,记Q=Q1∩E′,则由上节的讨论可知dimH(Q)=log 8/log 3,而Q⊂E′,再由Hausdorff维数的单调性,故有log 8/log 3=dimH(Q)≤dimH(E′)成立.

综合上述,dimH(E′)=log 8/log 3,定理1得证.

参考文献:

[1]FalconerKJ.Fractalgeometry-mathematicalfoundationsandapplications[M].[S.l.]:JohnWiley,2014.

[2]FalconerKJ.Fractalgeometry:mathematicalfoundationsandapplications[M].NewYork:JohnWilley&Sons,2003.

[3] 奚李峰. 从平面几何题中引申出的维数计算[C]//2006年分形几何与动力系统研讨会.乌鲁木齐:新疆师范大学,2006.

[4] 朱志勇,文志雄. 一类广义Sierpinski地毯的Huasdorff维数[J].应用数学,2011,24(2):360-365.

[5] 张贤达. 矩阵分析与应用[M].第2版.北京:清华大学出版社,2013:71-74.

[6]LlorenteM,MattilaP.Lipschitzequivalenceofsubsetsofself-conformalsets[J].Nonlinearity,2010,23:875-882.

[7] 朱莉红,陈绍明,龙伦海. 平面上广义McMullen集的Hausdorff维数[J].海南大学学报(自然科学版),2012,30(4):320-324.

[8]FengDJ,WenZY,WuJ.SomedimensionalresultsforhomogeneousMoransets[J].ScienceofChina:SeriesA,1997,40(5):475-482.

[9]GuiYX,LiWX.TheHausdorffdimensionofsetsrelatedtothegeneralSierpinskicarpets[J].ActamathematicaSinica,EnglishSeries,2010,26(4):731-742.

[10] 龙伦海,梁丽,朱莉红.由点矩阵的表示生成的分形矩阵的维数[J].数学进展,2015,44(2):229-238.

Hausdorff Dimension of Two Classes of Modified Sierpinski Carpets

Shan Jiajun, Long Lunhai, Yang Cheng,Wang Sichen

(CollegeofInformationScienceandTechnology,HainanUniversity,Haikou570228,China)

Abstravct:Inthereport,abiLipschitzmapbetweensquareandsectorringwhosecentralanglewaslessthan180°wasconstructed.Firstly,itwasprovedthatifwechangetheinitialsetofSierpinskicarpetfromsquaretosectorring,theHausdorffdimensionareequal.Secondly,itwasalsoshowedthattheHausdorffdimensionoftheModifiedSierpinskicarpetremainthesameeventheinitialsetisreplacedintothesectorwhosecentralangleislessthan180°.

Keywords:fractals;McMullenset;Hausdorffdimension;bi-Lipschitzmap

收稿日期:2015-06-29

基金项目:国家自然科学基金(11461016);海南省自然科学基金 (113003)

作者简介:单家俊(1992—),男,江西南昌人,海南大学2013级硕士研究生,研究方向:分形几何及其应用,E-mail:15501863129@163.com 通信作者: 龙伦海(1965—),男,教授,研究方向:分形几何,E-mail:13118900189@163.com

文章编号:1004-1729(2016)01-0007-05

中图分类号:O174.12

文献标志码:ADOl:10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2016.0002

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