刘燕秋, 余 波

( 三峡大学 理学院, 湖北 宜昌 443002)

关于矩阵的Frobenius内积的一个推广*

刘燕秋, 余 波

( 三峡大学 理学院, 湖北 宜昌 443002)

推广了矩阵的Frobenius内积的定义, 并在新的矩阵范数意义下, 证明了其矩阵空间是一个严格凸的赋范线性空间.

矩阵空间; 向量内积; 矩阵内积

0 引言

矩阵的Frobenius内积是线性代数中的一个基本概念,在很多领域都有广泛的应用.这些经典的应用包括凸优化以及对称半正定矩阵的规划问题,[1-2]求解对称矩阵特征值的界的问题[3]以及对对称矩阵的反特征值的数值算法设计[4]等等.近年来,有学者利用矩阵的Frobenius内积定义了旋转矩阵群上的平均,[5]用奇异值分解方法和关于Frobenius内积的正交补方法刻画了Moore-Penrose逆的推广.[6]根据矩阵的Frobenius内积可以诱导出矩阵的Frobenius范数,矩阵的Frobenius范数一样应用广泛.比如,有学者利用矩阵的Frobenius范数定义了一类子空间上的矩阵反问题,[7]讨论了矩阵方程Ax=B的反对称正交对称解的存在性的充要条件,[8]刻画了稀疏矩阵的低秩逼近的误差分析,[9]以及按照矩阵的Frobenius范数定义的度量研究了不足采样下的低秩矩阵重构问题[10]等等.

鉴于矩阵的Frobenius内积和范数的重要性,在1960年,有学者曾将矩阵的Frobenius内积推广到了更一般的代数结构上去.[11]本文将基于矩阵的Frobenius内积的定义方法, 引入一个m×m阶的对称正定矩阵C, 并利用C定义一个新的矩阵内积. 当C退化为m阶单位矩阵时, 此推广的矩阵内积便为传统意义下的Frobenius内积. 根据推广的矩阵内积可以诱导出相应的矩阵……