高二数学测试

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)

1.已知i是虚数单位,则i2 015=______.

3.按三段论式推理,进行如下推理.大前提:所有的车子都有四个轮子.小前提:自行车是车子.结论:______.

4.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C分别对应复数3+3i,-2+i,-5i,则第四个顶点D对应的复数为______.

5.若复数z满足(3-4i)z=5,则z的虚部为______.

6.如图,直线l是曲线y=f(x)在x=5处的切线,则f(5)+f′(5)=______.

7.用反证法证明命题“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为“a,b______能被5整除”.

8.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,则f′(2)的值等于______.

10.若z∈C且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值为______.

11.已知函数f(x)的导数f′(x)=a[x2+(1-a)x-a] (a≠0),若函数f(x)在x=a处取到极大值,则实数a的取值范围是______.

13.设动直线x=t与函数f(x)=x3,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则MN的最小值为______.

14.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,f′(x)为f(x)的导函数,已知y=f′(x)的图象如图所示,则f(x)> 2x+4的解集为______.

二、解答题(本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分14分)已知复数,z1=1+2i,z2=-2+i，

(1)求z3;

(2)若复数z满足z+z1为实数,且z(z2-z3)为纯虚数,求z.

16.(本小题满分14分)(1)证明:正三角形内任一点(不与顶点重合)到三边的距离和为定值；

(2)通过对(1)的类比,提出正四面体的一个正确的结论,并予以证明.

17.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax3+3x2-12x+1(a∈R),且当Δx→ 0时,

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)求函数f(x)在区间[-3, 3]的最大值与最小值.

18.(本小题满分16分)已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,a∈R.

(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;

(2)是否存在实数a，使函数f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;

19.(本小题满分16分)如图,在圆心角为变量2θ(0 < 2θ< π)的扇形OAB内作一半径为r的内切圆P,再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q,圆P与圆Q相切于点C,圆P和圆Q与半径OA分别切于E,D两点.

20.(本小题满分16分)设函数f(x)=ex-ax,其中e是自然对数的底数,a∈R.

(1)若函数y=f(x)的图……