邬 毅　张正萍　赵开明

(1. 重庆科技学院数理学院， 重庆 401331； 2. 重庆求精中学， 重庆 400015)



广义Ramanujan-Nagell方程整数解的讨论

邬 毅1张正萍1赵开明2

(1. 重庆科技学院数理学院， 重庆 401331； 2. 重庆求精中学， 重庆 400015)

摘要：利用二次域中的重要理论讨论典型方程Ramanujan-Nagell的所有整数解。

关键词：广义Ramanujan-Nagell方程； 整数解； 二次域

1广义Ramanujan-Nagell方程

设Z和N分别表示全体整数和正整数组成的集合，p是奇素数，D是适合p∨D的正整数，此时，方程

x2+D=pnx,n∈N

(1)

是一类基本而重要的广义Ramanujan-Nagell方程。近年来，诸多学者关注于该类方程的解数N(D,p)的上界估计，乐茂华证明了当(D,p)=(2,3)或(3s2+1,4s2+1)，其中s是正整数时方程(1)恰有 2组正整数解，否则，该方程至多有1组正整数解[1]；曹珍富仅给出了方程x2+2=3n仅有(1,1),(5,3)2组正整数解[2]。

定义1若ε和ε-1都是代数整数，则ε称为单位数[3]。

定义2环R的非空子集S叫做R的理想，是指满足下面条件：(1)如果a,b∈S，则a±b∈S；(2)如果r∈R,a∈S，则ra,ar∈S[4]。

定义3由一个元素x∈R生成的理想(x)叫做环R的主理想，如果R是整环，并且R中每个理想都是主理想(x)=xR，则R叫做主理想整环[4]。

定义4数域K的子集I叫做K的分式理想，是指存在0≠μ∈Ok(数域K的整数环)，使得μI为Ok的非零理想，用I(K)表示K的全体分式理想组成的集合，且I(K)构成群，叫做数域K的分式理想群；对于α∈K，称αOk(0≠α∈Ok)为主分式理想，而I(K)中主分式理想的全体构成一个群，叫做K的主分式理想群，记作P(K)；商群C(K)=I(K)P(K)，叫做K的(分式)理想类群，C(K)中的每一个元素叫做K的(分式)理想类[5]。

定义5理想类群的阶h(K)=|C(K)|叫做数域K的类数[5]。

定义7设α,β∈M，若存在ε使β=ε⊙α，则称β是α的相伴数，记作β～α[6]。

定理1若a≡b(modmi)，其中i=1,2,…,n，则a≡b(mod[m1,m2,…,mn])[7]。

引理2[6]设D满足引理1及下面的条件

则α是二次代数整数的充要条件是：

α=m+nωm、n∈Z，n≠0

(2)

定理3主理想整环是唯一分解整环[6]。

2x2+5=pn(n∈N)整数解的证明

证明广义Ramanujan-Nagell方程

x2+5=41nn∈N

(3)

仅有整数解(±6,1)。

证明情形 Ⅰ若n是偶数，则由方程(3)可得：

其中a2+5b2=p，从而由定理4可得：

进而有：

(4)

若式(4)右边的负号成立的话，设αn-βn=±(α-β)，即αn+α=βn+β，从而有α(αn-1+1)=β(βn-1+1)，于是有α|(βn-1+1)，又因为α+β=12，故α|((12-α)n-1+1)，则α|(12n-1+1)，两边同时取范数得21|(122n-2+2·12n-1+1)，显然不成立，从而式(4)右边的负号不成立，因此仅有：

所以n·6n-1≡1(mod 5)，故n≡1(mod 5)。又由条件n是奇数知n≡1(mod 2)，于是由定理1得 n≡1(mod10)，当n=1时，方程(3)有整数解(±6,1)。

对5l+1的方幂实施数学归纳法可证：

(5)

又因

(6)

由式(5)和式(6)可知：

=αn1·6n2-n1+

5n1(n2-n1)·6n2-2+

(7)

βn2≡βn1·6n2-n1-

由于式(4)的右端不能取负号，即an1-βn1=an2-βn2，故：

an2-βn2≡(an1-βn1)+

进而有：

即：

亦即：

故：

n2-n1=5l+1b

于是n2-n1≡0(mod 5l+1)，与5l|(n2-n1)矛盾。

综上所述，方程(3)仅有唯一整数解(±6,1)。

参考文献

[1] 乐茂华. 关于广义Ramanujan-Nagell方程x2+D=pn的解数[J]. 常德师范学院学报(自然科学版), 2002, 14(1): 1-2.

[2] 曹珍富. 丢番图方程引论[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2012：78-92.

[3] 华罗庚. 数论导引[M]. 北京: 科学出版社, 1979：322-327.

[4] 张禾瑞. 近世代数基础(修订本)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2010：41-44.

[5] 冯克勤. 代数数论[M]. 北京: 科学出版社, 2000：79-82.

[6] 潘承洞, 潘承彪. 代数数论[M]. 第2版. 济南:山东大学出版社, 2001：71-72.

[7] 闵嗣鹤, 严士健. 初等数论[M]. 第3版. 北京:高等教育出版社, 2003：55-58.

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[10] 杨继明. 广义Ramanujan-Nagell方程x2-D=3n的解数[J]. 数学学报, 2008, 51(2): 351-356.

[11] 陈候炎. 关于广义Ramanujan-Nagell方程的一个猜想[J]. 数学杂志, 2010, 50(4): 567-569.

[12] 乐茂华, 胡永忠. 广义Lebesgue-Ramanujan-Nagell方程研究的新进展[J]. 数学进展, 2012, 41(4): 385-393.

Discussion of the Integer Solutions of a Ramanujan-Nagell Equation

WUYi1ZHANGZhengping1ZHAOKaiming2

(1. College of Mathematics and Physics, Chongqing University of Science and Technology,Chongqing 401331, China; 2. Chongqing Qiujing Middle School, Chongqing 400015, China)

Abstract:In this paper, we studied all the integer solutions of a typical Ramanujan-Nagell equation by some important theories in quadratic fields.

Key words:generalized Ramanujan-Nagell equation; integer solution; quadratic field

收稿日期：2016-02-26

基金项目：重庆市自然科学基金项目“非自治差分方程中共振、衰减和阿利效应的研究”(CSTC2013JCYJA10049)

作者简介：邬毅(1982 — )，男，重庆云阳人，硕士，讲师，研究方向为数论。

中图分类号：O156.7

文献标识码：A

文章编号：1673-1980(2016)03-0123-03