孙 健，刘辉昭

（1.天津中德应用技术大学 基础课部，天津 300350；2.河北工业大学 理学院，天津 300401）

一类p（x）-Laplace方程解的存在性研究

孙 健1，刘辉昭2

（1.天津中德应用技术大学 基础课部，天津 300350；2.河北工业大学 理学院，天津 300401）

在光滑有界区域 Ω⊂RN上，讨论了具有 Dirichlet边值条件的一类 p（x）-Laplace方程解的存在性.在问题的研究过程中，通过利用 LP（x）（Ω）空间，W1，P（x）（Ω）空间的一些相关理论及带有 PS条件的Mountain Pass引理，给出了解存在性的一个充分条件，对原有结论进行了一个有意义的推广.

p（x）-Laplace方程；PS条件；Mountain Pass引理

1 引言

近年来，p（x）-Laplace方程 Dirichlet边值问题得到了广泛关注［1］-［4］，文献［5］讨论了Laplace方程Dirichlet边值问题

正解的存在性.

本文利用 Mountain Pass引理和嵌入定理，讨论如下p（x）-Laplace方程 Dirichlet边值问题

非平凡解的存在性，其中 Ω是Rn上有界光滑区域，p，q∈C（），p（x）＜n，1＜p（x）＜q（x）

定理1.1当 p（x）

2 预备知识

定理 2.3［5］［Mountain Pass引理］：设 E是Banach空间，I∈C1（E，R）满足：

3 主要问题的证明

设 Ω1={x∈Ω：|u（x）|≥h}，Ω2={x∈Ω：|φ（x）|≥r}，Ω3={x∈Ω：|φ（x）|≤r，|u（x）|≤h}，则 p+（Ωi）＜q-（Ωi），故必存在 αi，使得 p+（Ωi）＜αi＜q-（Ωi），取α={αi}，则

因为 p+（B2R（x0））＜q-（B2R（x0）），所以当 t→+∞ 时，J（tx0）→-∞.

易知 J（0）=0，由引理 3.1，泛函 J（u）满足 PS条件，结合定理2.3可知，问题具有非平凡解.

［1］Xian ling Fan,Qi Hu Zhang.Existence of solutions for p(x) -Laplacian Dirichlet probolem［J］.Nonlinear Analysis,200 3,52：1843-1852.

［2］Fan X L,Shen J,Zhao D.Sobolev Embeding Theorems for spaces［J］.Math Anal Appl,2001,262(2)：749-760.

［3］范先令，赵元章，张启虎.p(x)-Laplace方程的强极值原理［J］.数学年刊，2003,24A：495—500.

［4］Wang X,Zhao L,Zhao P H.Combined effects of singular and critical nonlinearities in elliptic problems［J］.Nonlinear Analysis：Theoty,Method&Applications,2013,87：1—10.

［5］G.A.Afrouzi,On positive mountain pass solutions for a semilinear elliptic boundary value problem［J］.Applied Mat hematics and Computation.2005,167：76-80.

［责任编辑：刘 昱］

Existence of Solution for a Class of Equation

SUN Jian1LIU Huizhao2
(1.Tianjin Sino-German Vocational Technical College,Tianjin,300350,China；2.Hebei University of Technology,Tianjin,300401,China)

In this paper,the existence of solution for a class of p（x）-Laplace equation with Dirichlet boundary value was discussed.An existence result which generalized the work of G.A.Afrouzi independing on the spaces of LP（x）（Ω）,W1，P（x）（Ω）and the Mountain Pass Lemma was obtained.

p（x）-Laplace equation;PS condition;Mountain Pass Lemma

O 175.2

A

1672-402X（2016）08-0001-03

2016-02-29

孙健（1983-），男，天津人，硕士，天津中德应用技术大学讲师.研究方向：偏微分方程，数学教学.刘辉昭（1963-），男，天津人，博士，河北工业大学教授.研究方向：基础数学、非线性微分方程、数学建模等.