刘长欣, 裴利军, 夏丽莉

(1. 河南教育学院 物理与电子工程学院 河南 郑州 450046;2. 郑州大学 数学与统计学院 河南 郑州 450001)

Kepler问题的离散化和积分理论

刘长欣1, 裴利军2, 夏丽莉1

(1. 河南教育学院 物理与电子工程学院 河南 郑州 450046;2. 郑州大学 数学与统计学院 河南 郑州 450001)

引入差分离散变分原理, 得到了Hamilton形式下的Kepler系统的差分方程、能量演化方程和系统的保辛数值算法格式，给出了离散Kepler系统的Noether定理. 数值计算Kepler系统的运动轨迹、时间历程和守恒量, 并和传统的4阶R-K方法比较, 说明离散变分算法能够较好地保持系统的稳定性和具有较高的计算精度.

差分离散变分原理; 离散Kepler系统; Noether对称性; 守恒量

0 引言

文献[1]提出了离散变分原理. 文献[2-3]发展了这一理论并应用力学系统得到系统的第一积分. 在数学领域，有关差分方程的研究也很普遍[4-5].为了提高差分自回归移动平均模型的拟合精度,文献[6]讨论了改进的差分自回归移动平均模型的共轭梯度参数估计法.文献[7]讨论了一类特殊离散系统的周期解的存在性.对离散力学已经得到了离散形式的Euler-Lagrange 方程和离散版本的Noether定理, 但是在时间-空间坐标中, 只能得到动量守恒. 为了探讨系统的能量守恒, 著名物理学家李政道教授给出了离散变分原理[8], 得到离散动量守恒和离散能量守恒. 因此, 在研究Lagrange 形式的离散力学时可以自然地引入离散的Legenda变换, 处理Hamilton形式的离散力学[9-10].

Kepler问题有三个著名的守恒量:能量守恒、角动量守恒和Runge-Lenz矢量守恒[11]. 文献[12]研究了Kepler问题的辛算法，得到了能稳定描述Kepler方程解的时间历程, 文献[13-14]基于辛方法给出了系统Hamilton能量守恒和角动量守恒. 文献 [15-16] 分别基于Levi-Civita 和 Kustaanheimo-Stiefel 变换，研究了二维和三维Kepler系统的保能量守恒的数值算法. 文献 [17-18] 推广了Levi-Civita 和 Kustaanheimo-Stiefel 变换，给出了更广泛的L-变换，得到了能量守恒、角动量守恒和Runge-Lenz矢量守恒. 在寻求Kepler问题的守恒量过程中, 对称性理论的优势得到了体现，其为寻求Kepler问题的守恒量提供了一条简洁重要的途径. 文献 [19] 研究微扰Kepler系统轨道方程的近似Lie对称性, 得到6个一阶近似不变量. 文献 [20] 研究了Kepler方程 Noether-Lie对称性与守恒量. 虽然Kepler系统的连续对称性问题得到了一定的发展，但是对于Kepler系统的离散对称性和守恒量的研究较少.本文通过研究 Kepler 系统的离散化、数值算法和积分理论，得到一种更加简洁的探究Keple系统的守恒量的路径.

1 离散Kepler系统的运动方程

(1)

基于显含差分项的方法, Kepler系统的离散Lagrange函数为

(2)

引入离散Legenda变换：

(3)

这里HD,k=HD,k(tk,qi,k,pi,k+1). 则离散Kepler系统的Hamilton函数可表示为

(4)

离散形式的Hamilton泛函表示为

(5)

离散形式Hamilton作用量式(5)的全变分为

考虑到 Δ(δtqi,k)=δtΔqi,k+(Δδttk)·Δqi,k和离散 Leibniz 法则， Δ(fkgk)=(Δfk)gk+fk+1(Δgk), 离散Hamilton 作用量的全变分可展开为

(6)

取离散时间tk、广义坐标qi,k和广义动量pi,k的无限小变换群：

(7)

由离散全变分原理δtSD=0, 对应于离散序列的变分δttk的系数为零, 可得

(8)

(8)式为离散差分序列Hamilton系统的能量演化方程，分别对应于离散序列的变分δtqi,k和δtpi,k+1的系数为零, 可得：

(9)

(9)式正是离散差分序列Kepler系统的Hamilton正则方程, 也称为离散Kepler系统的变分积分子. 式(8)、式(9)称为离散差分序列Hamilton系统的差分动力学方程，式(9)也称之Kepler系统的变分积分子[21]，为基于差分变分原理的保辛数值算法格式.

2 离散Kepler系统的Noether定理

定义1 如果Hamilton作用量式(5)是Kepler系统在无限小变换式(7)下的不变量, 即对每一个无限小变换,δtSD=0始终成立, 则称此无限小变换是Noether意义下的对称变换.

判据1 对于无限小变换式(7), 如果满足

(10)

则变换(7)是Kepler系统的对称变换.

定理1 如果给定的无限小变换式(7)是Kepler系统的对称变换, 即满足等式

(11)

则Kepler系统式(8)、(9)存在守恒量

IN,S=pi,kδtqi,k-HD,k-1δttk=const.

(12)

证明 Hamilton作用量的离散全变分可表示为

考虑到式(6), 有

(13)

将Kepler系统的差分方程(8)、(9)式代入式(13), 考虑到式(11), 得守恒量(12)式.

(14)

则变换式(7)是Kepler系统的准对称变换.

定理2 如果给定的无限小变换(7)是Kepler系统的准对称变换, 即满足等式

(15)

则Kepler系统式(8)、(9)存在守恒量

IN,S=pi,kδtqi,k-HD,k-1δttk+εGN,k=const.

(16)

(17)

定理2说明取不同的对称性生成元和合适的规范函数, 可能得到更多的守恒量. 本文只给出了能量守恒.

图1 R-K方法和离散变分方法求解Kepler系统的时间历程Fig.1 Displacements of phase space with variational methods and the Runge-Kutta methods

3 数值计算

基于离散差分变分原理, 数值研究Kepler系统方程(2)的运动问题. 选择初始条件为q1=0.003，q2=0.9,q3=0.01,p1=0.1,p2=0.1和p3=0.8的Kepler轨道并取步长为0.1, 常数K=0.75. 根据Kepler系统的变分积分子式(9), 图1给出了系统运动轨道曲线, 并和传统的4阶Runge-Kutta方法进行比较. 从图1中可以看出, 采用离散变分算法较好地刻画了系统的轨迹.

图2给出了系统的解曲线. 从图2中可以看出, 本文方法比传统的4阶Runge-Kutta方法的结果更加精确.

图2 R-K方法(左)和离散变分方法(右)求解Kepler系统的运动轨迹

图3给出了系统的能量误差随时间的变化规律, 基于差分变分原理的离散化方法能够保持系统的总能量守恒, 符合问题的实际情况. 当时间逐步增加时, 总能量也能很好地保持守恒. 采用Runge-Kutta方法所得的总能量随时间逐渐耗散.

图4给出了离散Noether守恒量随时间的变化趋势, 从图4可以看出基于差分变分原理的Noether定理所得的守恒量是守恒的. 这些结果体现了离散变分计算方法相比于Runge-Kutta方法具有较高的精度和较好的稳定性.

图3 R-K方法和离散变分方法求解Kepler系统的能量误差

图4 离散变分方法求解Noether守恒量(17)

4 结论

将差分视作一个几何对象, 引入离散差分变分原理研究离散Kepler系统的对称性和守恒量理论, 得到了离散的Noether定理, 从Noether定理得到的Noether守恒量恰好是系统的能量. 这些结果与连续系统的结果具有较好的一一对应关系. 数值计算结果也验证了基于离散差分变分原理的离散化方法具有较好的保系统的结构和守恒量的优势.

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(责任编辑：方惠敏)

Discretization and Integration Theory of the Kepler System

LIU Changxin1, PEI Lijun2, XIA Lili1

(1.CollegeofPhysicsandElectronicEngineering,HenanInstituteofEducation,Zhengzhou450046,China;2.SchoolofMathematicsandStatistics,ZhengzhouUniversity,Zhengzhou450001,China)

The canonical Hamiltonian difference equations and the energy equation of the Kepler system were proposed by introducing the discrete difference variational principle. The symplectic numerical algorithm was proposed for this equation. The discrete Noether theorem of the Kepler system was presented by means of difference discrete variational principle with the difference being regarded as an entire geometric object. The numerical calculations of the trajectory, the sollution and the three types of conserved quantities were shown. The difference discrete variational method preserved the exactness and the invariant quantity.

discrete difference variational principle； discrete Kepler system； Noether symmetries； the conserved quantities

2015-11-18

国家自然科学基金资助项目(11502071)；河南省自然科学基金资助项目(132300410051)；河南省教育厅基础研究项目(13A140224).

刘长欣(1966—)，男，河南南阳人，副教授，主要从事动力学系统方程的可积性研究，E-mail: Lcx19662008@163.com; 通讯作者：裴利军(1974—)，男，河南武陟人，教授，主要从事时滞微分方程、物理和力学中的数学方法和数值计算研究， E-mail: peilijun@zzu.edu.cn; peilijun99@163.com.

刘长欣,裴利军,夏丽莉.Kepler问题的离散化和积分理论[J].郑州大学学报(理学版)，2016,48(2)：29-33.

O316

A

1671-6841(2016)02-0029-05

10.13705/j.issn.1671-6841.2015274