黄铁牛

解题的一般程序如下图所示：

一、See and Think（认真看周密想）

解题时，首先要认真看题目，切忌题目还没有看清楚就匆匆动笔解题。若这样，极易出现下笔千言却离题万里的笑话。在认真看的基础之上，进而周全严密地系统化思考如何解题。在实践中，看想不可分割，即实际上我们通常边看边想，届时可在纸上动动笔以助思考；最佳则是在脑海中打“腹稿”。在边看边想过程中，首先要弄清题意，在此基础之上创造性地思考我要如何解题，这种心理活动过程称之为“审题”。包括以下四方面内容。

（一）题目所给已知条件是什么？

这是我们解题的出发点和框架，即最终解答不应违背题目所给已知条件。在此应注意，题目中有的条件可能是多余的，即解题时用不着；有时，已知条件尚欠缺、不当或者互为矛盾等，届时可能会出现无解或无穷多个解的情况；有时，还可能有某种或某些隐含的条件存在，这就需要我们深入思考才能发现之。各种已知条件，又可统称为初始条件。

（二）题目要求我们必须回答的问题是什么？

其答案可统称为题目的“解”。正确地求得题目的解，即通过解题成功地寻求到所求问题的正确答案，这是我们解题要坚持的大方向且应最终实现的目标。在学习过程中，我们会遇到各种各样的问题（狭义的“题目”到广义的“课题”），具体题型更是千变万化。尽管如此，却可以简略地将它们区分为两大类特性有别的问题[1]：其一是“求解”类，即要求我们通过解题“计算”出某结果，如求某三角形的周长；其二是“求证”类，即要求我们通过解题，“证明”某结论Yes（是）or No（不），如证明某两个三角形全等。当然，有许多问题，特别是许多比较复杂的问题，既需要我们求解，又需要我们求证。

通过解题获得的“解”，即所求问题的正确答案，可能是唯一的解或有限几个解，亦可能无解或无穷多个解。若出现后种情况，往往是因题目所给条件不当或我们推演过程有误所致，当然亦可能是题目的结论本该如此。究竟应该如何判断？只有解题者在再次认真审题及推演的基础之上，自己酌情理智决断了。

（三）具体的解题方法和途径是什么？

究竟应该如何解题，这是审题终极目标的核心所在。其实质是要求我们在已知条件与所需求解或求证的问题之间，构建一座有效的“桥梁”，以求圆满而正确地实现解题这一目标。为此，我们首先要放飞想象力，创新思维，甚至大胆猜测，多角度思索和寻求可能的解题方法与途径。其结果往往会在自己脑海中形成多个差异化的解题方案。这种由少到多的开放性思维过程，被称为发散性思维，又常被称为“头脑风暴”（Brain Storm）。其间产生的想法（Idea），特别是新奇的想法，多源于我们在审题过程中虽苦思冥想却仍百思不得其解时的突发奇思妙想（称为顿悟思维）；或根据我们过去的经验，甚至犹如从未谋面的男女一见钟情，一见到题目后立即直觉地认定此题就应如此这般地求解或求证（称为直觉思维）；当然，也源于我们依据所学基本概念、基本理论、基本知识和技能的逻辑推理和理性判断（称为逻辑思维[2]）。在此需要提醒的是，切忌将自己的思维凝固在某一点上，否则将极易钻牛角尖，从而将自己的解题思路引入死胡同中。同时更需要强调，“放飞”既不能脱离已知条件，又必须坚守圆满成功解题的目标导向；否则，就是胡思乱想。

放飞的“风筝”飞得再高再远，终归是要收回的。即我们解题时，总是要采用某种具体解题方法和途径解题。换言之，头脑风暴后，我们必须以既能正确圆满回答题目要求我们求解或求证的问题、又要符合题目所给已知条件为准绳，对脑海中形成的多个解题方案进行深入分析、比较和评估，从中筛选出正确的解题方法和途径；进而从正确的解题方法和途径中选择最简单、有效的解题方法和途径，保证我们既成功又快速顺利地解题。这种由放到收，即由多到少进而归一的思维过程，被称为收敛性思维。届时，我们必须坚守有理有据地逻辑推理、理性判断与决策，即坚守逻辑思维，而不是“任性”。

具体解题方法何止成千上万，解题技巧更是五花八门。特别是科学的发现和探讨，本身就是一个永无止境的创新思维和实践的过程，几乎每天都有新的解题方法和技巧，甚至新的概念和理论产生。例如，大家熟知的勾股弦定律，就有300多种不同的证明方法[3]。因此，要求我们逐一学习并能灵活应用如此众多的解题方法和技巧，犹如要我们摘天上的月亮，是无法办到的事。然而，在当今高度竞争的态势下，为了今后更好地生存和发展，我们又必须努力学习和掌握之。那么，有无捷径可走呢？我们的观点是：一是无捷径可走。因为刻苦认真学习者，犹如苦行僧修行，一要耐得住寂寞，二要不怕失败和吃苦，三要脚踏实地，四要勇于创新，勤于思考，善于总结。坚持者会水到渠成，必成大器。二是有规律可循。如果从审题时在我们脑海中从产生意念（Idea）、打通解题思路进而最终形成解题方案之逻辑过程的思维模式入手分析，就会发现各种各样的解题方法，可粗略地区分为三大类。

1.分析法。这是一种反向思维（又称逆向思维）的思维模式。它是从题目要求我们求解或求证的问题入手，反向思维，即一步一步地反向推演，探索它与初始条件之间联系的通道，以打通解题思路，最终寻找到正确的解题方法和途径。换言之，在这种思维模式中，我们首先认定，题目要求我们求解或求证问题的结论成立（也可以设定为不成立），看看若如此，则它必须满足哪些条件，即它必须在什么样的条件下才能成立？若这些条件成立，它们又需要什么样的次级条件支撑？这些次级条件又需要什么样的次次级条件支撑……如此一步一步地反向追问和推演，直至追溯到初始条件，从而打通并理清理顺解题思路，找到解题方法和途径。待解题思路打通后，再从初始条件出发，正向推演一步一步地返回原路，看看能否圆满地回答题目要求我们必须求解或求证的问题，即能否成功解题。

2.归纳法。这是一种正向思维的思维模式。它是从题目所给已知条件（包括常数和潜在的已知条件）出发，以题目要求我们最终求解或求证即必须回答的问题为导向，正确运用相关联的基本概念、基本理论、基本知识和技能，当然需要经验和技巧，正向思维，一步一步地向前逻辑严密有据地推演，最终圆满地回答题目要求我们必须求解或求证的问题，从而成功解题。

3.综合法。顾名思义，它是将分析法和归纳法有机结合起来，即根据解题的实际需要，酌情将反向思维和正向思维这两种思维模式有机结合起来，系统化思考，综合性应用，以求发现、形成、甚至创新出正确的解题思路，从而找到成功求解或求证问题的可行方案；进而从多个可行方案中筛选出最优化且具体实施的解题方法和途径，以成功解题。在此需要指出的是，现实生活中许多问题往往受多种因素相互制约，其“解”可能不是“最优化”而是“令人满意”的方案。这已超出本文讨论范畴，故不赘述。

（四）可选用什么解题技巧？

解题技巧的应用，特别是解数学题时，不仅十分普遍，而且非常重要。一个看似“死题”，往往在引入辅助线或新的变量等“中介”和“桥梁”，甚至创新性概念、方法及理论后，立即变成“活题”。解题技巧能力的产生和提升，既源于我们的灵感，更有赖于我们日常的博学勤思多练及知识的积累与见多识广。其实，我们做题时只要深入分析题目所给已知条件与要求我们所求解或求证问题之间的联系，往往会激发我们创造性解题的冲动和灵感，从而不难发现并且很快找到，甚至创造出某种崭新的解题方法和诀窍。换言之，“灵感”并非是天才的专利，而是我们大家都拥有的。为此，我们“凡人”必须有迎难而上，永不放弃和言败，特别是要有敢于并乐于勇攀高峰的气势。

当我们有了初始的解题设想后，因其往往并不完善，甚至可能是条“死路”或“陷阱”，故应对之反复追问“why？why？why？”不断深入多角度地提出新的问题，以力求发展和完善这些设想（当然有些可能必须舍弃），使之升华为解题思路；进而打通、理清、理顺解题思路以形成解题方案，并对之认真分析、比较和评估（评估准绳已前述），从中筛选出正确的解题方案；再从正确的解题方案中，选择出最简洁有效的解题方法和途径以具体实施。之所以突出“解题途径”，是因为同一大框架下的解题方法中，常常可细分为若干推演过程或者技术路线差异化的具体解题方法。即不同途径解法的大原理相同，但其具体表现手法却互有差异，因而存在着哪条解题途径更科学合理的问题。

从上述分析中不难看出，“认真看、周密想”的实质是“认真而周密地审题”。其核心任务可归纳为十六个字：弄清题意，提出设想，打通思路，确定方案。为此，审题时我们必须清晰而明确地回答下述四个基本问题：

1.我应该从何处或何角度入手解题？

2.我所选择的具体解题方法和途径是什么？它符合题意且正确、简洁、有效吗？

3.我解题的理论依据是什么？解题的推演过程一目了然且各步之间的逻辑关系正确而严密有据吗？

4.我解题的答案，即题目的解，既符合题目所给已知条件，又圆满回答了题目中的要求吗？

我们了解必须求解或求证的问题吗？换言之，通过我的解题，我是否正确地在这二者之间成功构建了有效的“桥梁”？

综上所述，“认真看、周密想”就是要求我们在动笔前一定要“看清楚、想明白”。这是保证我们成功解题的关键所在。正如古人云：凡事要先谋而后动，三思而后行。

二、DO（规范化做）

规范化做，实质上是将我们在审题过程中，已选择并储存在我们脑海中拟实施的具体解题方法和途径，在纸面上“复印”一遍，以最终实现解题目标而已。换言之，它是在“执行”我们脑海中已确定的决策。“执行”过程中要注意：

1.解题格式和推演过程应规范化。

2.解题的推演过程要一目了然，且每一步的推演其逻辑关系要严密有据，使阅者有眼前一亮、目不转睛之悦感。切忌曲里拐弯，绕来绕去说不清、道不明。

3.文字表述应清晰、简洁、准确。

4.注意细节，不要出现笔误或遗漏等不必要的失误。

5.书写工整、整洁且布局合理。

三、Check（细心查）

完成解题后，还需要细心查验，确保解题正确无误。为节约时间并保证有足够的时间做完其他题目，通常是完成全部解题任务后再统一查验。当然，亦可以边做边查。如何具体实施，必须以在预定时间内，最好地完成预期任务为准绳。若时间约束有弹性，则应以既高效更优质即追求卓越为首要目标。

查验时，首先要看有无大错。一旦发现有大错，就应千方百计地设法纠正之。其次是看看有无小错，如小数点、单位、运算符号，甚至是错别字和标点符号等，都应细心查验，避免不必要的失误。因为任何小错，特别是小错的积累，都有可能酿成无法挽回的大错。

由此可见，“细心查”就是构建一道有效的“防火墙”及信息反馈通道。使我们有机会从全局上系统化地重新审视整个解题过程，以便及时发现并纠正解题过程中可能出现的失误（包含题目自身的失误），从而保证成功解题。因此，它是解题过程中不可缺失的重要环节之一。然而，辩证地看，最佳的“细心查”是“不用查”。认真看、周密想、规范化做题，这几个环节只要切实做好，即可避免出错。而无错就谈不上纠错的问题，届时认真检查就成为举手之劳。这种严肃认真的学习态度及脚踏实地的学风，我们应该习惯成自然。

参考文献：

[1]乔治·波利亚.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授[M].科学出版社，2006：128-130.

[2]钱学森.系统科学、思维科学与人体科学[J].自然杂志，1981，4（1）：3-9.

[3]张景中，曹培生.从数学教育到教育数学——张景中院士、曹培生教授献给中学师生的礼物[M].中国少年儿童新闻出版社，2005：18-22.