苏　毅， 许泽玮， 骆科东

(1.中国人民大学 商学院，北京 100872；2.中国石油规划总院，北京 100083；3.九一金融信息服务(北京)有限公司，北京 100888)

计算与测试

基于FDTD的电磁波透地通信分层传输模型数值计算

苏毅1,2， 许泽玮3， 骆科东2

(1.中国人民大学 商学院，北京 100872；2.中国石油规划总院，北京 100083；3.九一金融信息服务(北京)有限公司，北京 100888)

摘要:为了研究电磁波在地层中的传输特性，根据地层媒质的特点建立了电磁波透地通信分层传输模型，并求解了电磁波的反射和透射系数。在此基础上，采用有限差分时域 (FDTD) 法进行电磁场数值模拟，建立了电磁波透地通信FDTD数值计算模型，并利用实际测井数据进行了仿真计算。仿真结果表明:基于FDTD的电磁波透地通信分层传输模型能够较准确地反映出实际地层中电磁波的传播情况。

关键词:有限差分时域； 电磁波； 透地通信； 分层传输模型； 数值计算

0引言

近年来，随着计算机技术的发展，提出了很多求解电磁波传播方程的数值解法，如矩量法、有限差分时域(finitedifferencetimedomain，FDTD)法等。矩量法可以解决解析法不能解决的边界条件比较复杂的电磁问题，但对于微分形式或积分形式的麦克斯韦方程，其离散方程的系数矩阵或为大型病态稀疏矩阵，或为满矩阵，所需计算量很大；FDTD法用一系列差分方程代替微分方程，它将问题的求解域分成有限个离散点，可以求解各种媒质中电磁波随时间和空间的传输特性，只要离散点取的足够紧密，就可以使解的误差满足要求[1]。因此，采用FDTD法可以在给定的初始条件下无需做任何变换而直接对电磁波传播方程组进行时域求解。

电磁波透地通信中，地层作为传输信道最重要的一部分，其结构特性将对电磁波的传播产生很大的影响[2]。地层主要由各种岩层构成，不同岩层具有不同的参数特性，透过地层传播的电磁波在经过不同的岩层时，会在各岩层之间的交界面处发生反射、折射等，从而使其信道特性极其复杂[3]。因此，为了精确地模拟地层中电磁波的传播情况，需要对地层的结构特性、媒质参数分布等进行分析，根据不同的地质结构建立相应的电磁波传播分层模型，以准确地反映地层媒质参数对电磁波传播的影响，从而为电磁场的数值计算提供依据。

1电磁波透地通信分层模型及其反射和透射系数

大地媒质的分层模型[4,5]是目前应用较为广泛的模型，该模型中将大地媒质等效为折射率为n，厚度为h的理想均匀介质，同时将矿井空间理想化为自由空间，并将大地媒质和自由空间的分界面看作光滑平面，如图1所示。

图1　地层媒质分层模型Fig 1　Hierarchical model for stratum medium

由图1可知，在分层模型中， z<0和z>h的区域为自由空间(h为大地媒质厚度)，它的折射率为n1(n3=n1)，平面电磁波从z<0的自由空间以入射角θ1入射到大地媒质，在它们的分界面z=0处，一部分电磁波被反射回自由空间，而另一部分则透入到大地媒质中继续传播，进入到大地媒质的电磁波经过一定距离的传播后，到达分界面z=h处，一部分被反射，一部分则透入到井下形成透射波[6,7]。

(1)

在分界面z=0处，入射波一部分被反射，一部分透射。利用Snell定律，可以求得在该分界面处反射波与透射波的电场强度分别为

(2)

上述各式均满足Snell定律，所以有如下关系成立

n1sinθ1=n2sinθ2=n3sinθ3

经过计算，便可得到入射波电场强度垂直入射面时入射波振幅与反射波、透射波振幅之间的关系

(3)

(4)

联立式(3)和式(4)，可以得到入射波电场强度垂直入射面时平面分层介质中透射系数T⊥和反射系数R⊥为

(5)

(6)

同理，仿照上面的推导过程，可以求得入射波电场强度平行入射面时入射波振幅与反射波、透射波振幅之间的关系

(7)

(8)

联立式(7)和式(8)，可以得到入射波电场强度平行入射面时平面分层介质中透射系数T∥和反射系数R∥为

(9)

(10)

(11)

(12)

2大地媒质FDTD多层计算模型

用FDTD法研究电磁波在媒质中的传播特性时，需要将电磁场的计算域网格化，并将待研究目标的物理参数和几何参数赋予计算网格，这个过程称为FDTD电磁场建模。因此，在利用FDTD法研究电磁波在地层媒质中的传播特性时，需要首先为地层媒质建立FDTD电磁场计算模型。由于大地为半无限大平面，电磁场的入射波是在地层上方或井下近似自由空间的半封闭面上引入的，因此，入射波不是无限的，而是有限的点波源或平面波，这样，入射波会在吸收边界和计算域内各层媒质的分界面上存在不连续性[9]，为此，建立图2所示的FDTD电磁场计算模型。

图2　大地媒质的FDTD计算模型Fig 2　FDTD calculation model for earth medium

由图2可知，地层媒质的FDTD计算模型由4个计算域构成，其中区域一为自由空间或井下部分，这一区域媒质的电磁参数分别为ε0，σ0=0,μ=0， (ε0为相对介电常数，σ0为相对电导率，μ0为磁导率)；区域二为大地媒质模型，实际计算中需要根据所模拟的地层媒质类型(突变型或渐变型)进行相应的处理；区域三为吸收边界条件UPML(uniaxialperfectlymatchedlayers)与自由空间相交界的部分；区域四为吸收边界条件UPML与分层地层媒质相交界的部分。在整个计算区域内，为了保证媒质电磁参数的连续性，位于各分界面上的网格其电磁参数取界面两侧相邻两层媒质电磁参数的平均值。

3电磁波在大地分层媒质中的FDTD数值模拟

图3为常村—70井煤田测井解释成果图，测井深度为670.1m，终孔深度674.56m，终孔直径89mm，各个数字所代表的含义如图所示。由测井解释成果图可知，常村—70井所处地质结构为突变型地层媒质结构，主要由4种不同类型的岩层构成，分别是中粒砂岩、砂质泥岩、煤层、石灰岩，每一层内岩层的视电阻率、密度变化不大，可以看作是均匀的，而层与层之间这两个参数均不相同，发生突变。

图3　测井解释图Fig 3　Logging interpretation chart

根据常村—70井煤田测井解释成果，采用突变型分层模型来模拟该处的媒质结构较为合理。由于常村—70井所处地质结构主要由4种不同类型的岩层构成，于是可以建立一个具有四层煤质结构的FDTD计算模型，如图4所示。其中，第一层为石灰岩，第二层为煤层，第三层为砂质泥岩，第四层为中粒砂岩，煤层的厚度较小，但其电导率较大。

图4　FDTD分层计算模型Fig 4　FDTD hierarchical calculation model

采用TE极化的电磁波，由前面的分析可知，TE极化的电磁波垂直入射时可获得较大的透射能量，即θ=0°。当电磁波垂直地层入射时，它所满足的波动方程可以简化为一维的。利用FDTD法可以了解电磁波在分层地层媒质中的传播特性及地层煤质对电磁波的传播损耗，从而确定电磁波能否从井下传输到井上。

对于地层中的一维电磁场传播问题，假设平面波沿z轴方向传播，则电磁场分量与x，y轴方向无关，此时电磁场的FDTD差分方程可以表示为

(13)

(14)

对于分层媒质，由前面分析可知，层与层之间的反射系数和透射系数可表示为

(15)

(16)

4电磁波透地通信FDTD仿真分析

采用图4所示的FDTD计算模型，假设有一平面波从自由空间垂直入射到大地媒质，一部分波被反射，而另一部分波则透入到大地媒质继续传播。对于一维电磁场计算问题，其FDTD数值计算结果如图5所示。

图5表示大地分层模型中整个计算域内不同深度的电场分量与磁场分量的分布情况，由图可知，随着电磁波透入深度的增加，各场量的衰减也相应增加，由于每一层的电磁参数各不相同，所以,电磁波透过每层后产生的衰减也各不相同，具体为透过第一层大约衰减了13dB，第二层大约为20dB，第三、四层大约为8dB，可见电导率低的地层电磁波衰减相对较慢，而电导率高的地层电磁波衰减快。根据上面的FDTD仿真结果，可以得到以下结论：对常村—70井所处地质结构，在终孔深度为674m的情况下，采用TE极化电磁波垂直入射，载波频率65kHz，电磁波从井下传输到井上时，地面检测电压约为-50dB。可以看出,分层模型能较精确地反映出实际地层中电磁波的传播情况。

图5　分层模型中不同深度的透射波形Fig 5　Transmission waveforms of different depth in hierarchical model

5结论

本文建立了电磁波透地通信大地媒质分层模型，并利用所建立的模型求解出了电磁波在突变型地层媒质中传播时的透射系数和反射系数。同时，基于电磁波透地通信分层模型，建立了大地媒质的FDTD电磁波数值计算模型，并通过仿真分析了电磁波在常村—70井的传播情况，仿真结果表明:随着电磁波透入深度的增加，各场量的衰减也相应增加，由于每一层的电磁参数各不相同，所以,电磁波透过每层后产生的衰减也各不相同，具体为电导率低的地层电磁波衰减相对较慢，而电导率高的地层电磁波衰减较快。因此，在进行实际系统设计时，可以此为依据选择合适的发射功率和接收传感器灵敏度，从而保证电磁波信号可靠地从井下发送到井上，完成测量数据的传输。

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NumericalcalculationofhierarchicaltransmissionmodelofelectromagneticwavecommunicationthroughformationbasedonFDTD

SUYi1,2,XUZe-wei3,LUOKe-dong2

(1.SchoolofBusiness,RenminUniversityofChina,Beijing100872,China;2.PetrochinaPlanningandEngineeringInstitute,Beijing100083,China;3.91FinancialInformationService(Beijing)CoLtd，Beijing100888,China)

Abstract:In order to study transmission characteristics of electromagnetic wave in formation,a hierarchical transmission model for electromagnetic wave communication is established according to characteristics of stratum medium,solve electromagnetic wave reflection and transmission coefficients.On this basis,finite difference time domain (FDTD) method is used to simulate electromagnetic field,and FDTD numerical calculation model for electromagnetic wave transmission is established,and simulation calculation is carried out by using actual logging data.Simulation results show that the hierarchical transmission model for electromagnetic wave communication based on FDTD can accurately reflect propagation of electromagnetic wave in actual formation.

Key words:finite difference time domain(FDTD); electromagnetic wave; communication through formation; hierarchical transmission model; numerical calculation

DOI:10.13873/J.1000—9787(2016)04—0123—04

收稿日期：2016—03—10

中图分类号:TP 212.9

文献标识码:A

文章编号:1000—9787(2016)04—0123—04

作者简介:

苏毅(1983-)，男，甘肃天水人，博士，工程师，中国人民大学商学院博士后，主要从事机电控制、通信系统数学建模、数值分析等方面的研究。