时统业，李照顺，秦　华

(海军指挥学院信息系，江苏 南京 211800)

与AH凸函数有关的若干积分不等式

时统业，李照顺，秦华

(海军指挥学院信息系，江苏 南京 211800)

摘要：利用AH凸函数与凸函数的关系，证明了AH凸函数单侧导数的存在性和单调性，并通过不等式建立了AH凸函数与其单侧导数的联系.从AH凸函数的定义和基本性质出发，用普通数学分析的方法建立了若干AH凸函数的不等式.

关键词：AH凸函数；积分不等式；单侧导数

1预备知识

定义1[1]设f(x)区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸(凹)函数，当且仅当：对任意x1，x2∈I，λ∈(0，1)，有f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2).

注1当f(x)为区间I上的凹函数时，也有相应结论，引理2中的不等号反向.

引理3设f：[a，b]⊆R→(0，+∞)为AH凸(凹)函数，x，y∈(a，b)，则

(i)f在(a，b)内任意点处的单侧导数存在；

(ii)若x

(1)

(2)

(iii)因g(x)是[a，b]上的凹函数，故由引理2证得式(2)成立.

引理4设f：[a，b]⊆R→(0，+∞)为AH凸函数，则f和lnf都是[a，b]上的凸函数.

证明对任意x1，x2∈I和任意t∈[0，1]，由AH凸函数有

(3)

又因为

(4)

由式(3)、(4)得

f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，

lnf(tx1+(1-t)x2)≤tlnf(x1)+(1-t)lnf(x2)，

故证得f和lnf都是[a，b]上的凸函数.

引理5[5]设f是[a，b]上的连续凸函数，g在[a，b]上有连续的导函数且至多只有有限个零点，则有

文献[6]给出AH凸函数的几个积分不等式.

本文建立一些新的AH凸函数的积分不等式，所采用的思想方法可见文献[7-8].

2主要结果

定理2设f：[a，b]⊆R→(0，+∞)为AH凸(凹)函数，则有

(6)

证明由AH凸函数的定义有

(7)

当bf(b)≠af(a)时，

当bf(b)=af(a)时，

定理3设f：[a，b]⊆R→(0，+∞)为连续的AH凸函数，则有

(8)

(ii)若f又严格单调，则有

(9)

证明由引理4知lnf是[a，b]上连续的凸函数，又由引理5得

(10)

(11)

(i)由引理3(iii)，对任意x，y∈(a，b)，有

(12)

式(12)对x，y在[a，b]×[a，b]上积分得

即

(13)

由式(10)、(11)和式(13)证得式(8).

(ii) 式(12)对y在[a，b]上积分得

(14)

(15)

证明由引理3(iii)，对任意x∈[a，b]，有

(16)

(17)

式(16)、(17)分别在[a，y]和[y，b]上对x积分，然后相加可得式(15).

受到……