范梓淼，周菊玲

(新疆师范大学 数学科学学院,新疆 乌鲁木齐　830017)

NA样本下Lindley分布参数的经验Bayes检验

范梓淼，周菊玲*

(新疆师范大学 数学科学学院,新疆 乌鲁木齐830017)

摘要：基于NA随机样本序列，讨论了Lindley分布的参数θ的经验Bayes检验函数问题H0:θ≤θ0↔H1:θ>θ0。结论:构造了参数的经验Bayes检验函数，并获得其渐近最优性；在适当条件下证明了经验Bayes检验函数的收敛速度)。

关键词：NA样本；Lindley分布:经验Bayes检验

0引言

Lindley分布由Lindley于1958年提出，但直到最近几年才被学者关注。Zamani等学者将该分布应用于交通事故分析。Ghitany在文[1]中利用Lindley分布模型拟合寿命数据，发现比用指数分布模型更好，并且指出Lindley分布具有的很多数学性质比指数分布的还要灵活。在应力-强度模型的可靠性研究中该分布也起着重要的作用。因此对Lindley分布的统计性质研究是非常必要的。文[2]中在独立同分布样本下讨论了Lindley分布参数的单侧检验问题，文[3]讨论了Lindley分布参数的区间估计和假设检验。该分布在NA样本下的讨论非常罕见，鉴于此，本文在NA样本情形下，讨论该分布参数的经验Bayes检验。

定义2[5]称随机变量X服从Lindley分布,如果其概率函数为

1经验Bayes检验

首先建立Lindley分布参数θ的如下一对假设检验:

H0:θ≤θ0↔H1:θ>θ0

设行动空间为D={a0,a1}，其中a0表示接受H0，a1表示拒绝H0。

设参数θ的先验分布为H(θ)，则δ(x)的Bayes风险为

设随机变量序列{X1,X2,…,Xn,X}是同分布NA的,其中X1,X2,…,Xn是历史样本,X是当前样本。参数θ的先验分布为π(x)。本文假定:

(c)对于Borel可测函数ki(·),在(0,1)外为零, (0,1)内有界的，i=0,1。并且满足条件:

递归核估计方法是Wolverton和Wagner在1969年提出的，它改进了1956年Rosenblatt提出的核估计方法。一方面递归核估计的递归性质，大大减少了估计密度函数的计算量；另一方面，其可变窗宽的特点克服了估计的过度平滑和锐化，能够较固定窗宽更细致地刻画密度函数，从而提高估计效率。

则δn(x)的全面风险函数为

En表示对X1,X2,…,Xn联合分布求期望。

为获得经验Bayes检验函数{δn(x)}的渐近最优性和收敛速度的阶,在此引入下述定理。下文M,M1,M2表示正常数,在不同式子中表示不同的值,即使在同一表达式中也如此。h,H分别表示最小窗宽和最大窗宽。

(1)

(2)

引理2[8]设X和Y是NA随机变量且方差有限,则对于任何可微函数g1(x),g2(x)有

2主要结果及证明

由引理1和控制收敛定理有,

即经验Bayes检验函数{δn(x)}是渐近最优的。

证明由引理1和Markov不等式得

(对于PA随机变量序列也可运用本文的方法证明经验Bayes检验函数的渐近最优性，获得经验Bayes检验函数的收敛速度。)

参考文献：

[1] GHITANY M E,ATIEH B,NADARAJAH S.Lindley Distribution and its Applications[J].Mathematics and Computers in Simulation,2008,78(4):493-506.

[2] 杜伟娟，彭家龙，李体政.Lindley分布参数的经验Bayes检验的收敛速度[J].统计与决策，2012(21):23-26.

[3] 龙兵.Lindley分布中参数的区间估计和假设检验[J].广西民族大学(自然科学版)，2014,20(1):59-62.

[4] JOAG D K,PROSCHAN F.Negative association of random variables with application[J].Ann Statist,1983,11(1):286-295.

[5] LINDLEY D V.Fiducial Distributions and Bayes’ Theorem[J].Journal of the Royal Statistical Society,Series B,1958,20(1):102-107.

[6] WOLVERTON C T,WAGNER T J. symptotically Optimal Discriminant Functions for Pattern Classification[J].IEEE Trans Inform Th,1969,15(2):258-265.

[7] JOHNS M V J,VAN R J.Convergence Rates in Empirical Bayes Two-action Problems Ⅱ.Discrete Case[J].Ann Math Statist,1972,43(3): 934-947.

[8] PAN J M.On the Convergence Rates in the Central Limit Theorem for Negatively Associated Sequences[J].Chinese Journal of Appl Prob And Star，1997,13(2):183-192.

[9] 王亮,师义民.NA样本下一类指数分布族的经验贝叶斯检验[J].西北大学学报(自然科学版),2008,38(4):523-526.

The empirical Bayes test problem for Lindley under NA sample

FAN Zimiao,ZHOU Juling*

(Department of Mathematical sciences, Xinjiang normal university, Urumqi, Xinjiang 830017, China)

Abstract:Under the NA sample, the problem was discussed that the empirical Bayes test problem for lindley. Results: the test function was created by using the kemel estimation with variable window width of density function. The empirical Bayes test function is obtained, and asymptotic optimality is proved , and convergence rates is get on suitable conditions.

Key words:NA sample; Lindley distribution; the empirical Bayes test

文章编号：1004—5570(2016)02-0068-03

收稿日期：2015-12-09

作者简介：范梓淼(1991-),女,在读硕士,研究方向:概率论与数理统计,E-mail：1421237334@qq.com. *通讯作者：周菊玲(1968-),女,副教授,研究方向:概率论与数理统计,E-mail：326815649@qq.com.

中图分类号：O212.1

文献标识码：A