郭　瑞,赵西卿,张利霞,许宏鑫

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西 延安　716000)

关于欧拉方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))的正整数解

郭瑞,赵西卿,张利霞,许宏鑫

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西 延安716000)

摘要：基于φ(n)为Euler函数，探讨了不定方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))的正整数解的问题，并利用初等解法给出了该方程满足m≤n的所有正整数解。

关键词：Euler函数；正整数解；不定方程；初等解法

0引言

对于任意的正整数n，Euler函数φ(n)定义为序列1,2，…，n-1中与n互素的整数的个数。 Euler函数是数论中的一个重要函数，关于它的一些重要性质及与之有关的不定方程的正整数解，目前仍是一个重要的问题。Euler函数是一类重要的积性函数，文献[1]中，对于任意的正整数m,n，当(m,n)=1时，有φ(mn)=φ(m)φ(n)。文献[2]和[3]中研究了欧拉函数的可加性问题。1960年,Makowski Andrzej在文献[4]中讨论了不定方程φ(mn)=φ(m)+φ(n)的正整数解的问题。 2010年，孙翠芳等在文献[5]中讨论了方程φ(mn)=k(φ(m)+φ(n))的可解性并获得该方程的部分正整数解，其中k为素数。2014年，张四保等[6]，在文献[5]的基础上给出方程φ(mn)=k(φ(m)+φ(n))当k=3时的所有35组解，并讨论了对任意奇数k，当k>3时方程的解的情况。文献[7,8]分别讨论了k=2,4时方程φ(xyz)=k(φ(x)+φ(y)+φ(z))的解的问题。本文将研究方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))的可解性问题。

1预备知识

引理1[1]若p为素数,则φ(p)=p-1。

引理2[1]若p为素数,且α≥1,则φ(pα)=pα-pα-1=pα-1(p-1)。

引理3[1]对任意的正整数m,n，若m|n，则φ(m)|φ(n)。

引理5[1]对任意的正整数m,n，若m>2，则2|φ(m)。

引理6Ⅰ)方程φ(x)=2的解为x=3,4,6；Ⅱ)方程φ(x)=4的解为x=5,8,10,12；Ⅲ)方程φ(x)=8的解为x=15,16,20,24,30；Ⅳ)方程φ(x)=16得解为x=17,32,34,40,48,60。

证明我们只证明φ(x)=4的情形,其他情形类似可得。 令x=2α13α25α3，其中α1,α2,α3为正整数，则由引理2得

φ(x)=φ(2α13α25α3)=2α1-1·2·3α2-1·4·5α3-1

ⅰ)当α1≠0,α2=α3=0时，有φ(x)=φ(2α1)=2α1-1=4，则α1=3，x=8。

ⅱ)当α2≠0,α1=α3=0时，有φ(x)=φ(3α2)=3α2-1=2·3α2-1=4，无解。

ⅲ)当α3≠0,α1=α2=0时，有φ(x)=φ(5α3)=5α3-1=4·5α3-1=4，则α1=1，x=5。

ⅳ)当α1,α2≠0,α3=0时，有φ(x)=φ(2α13α2)=2α1-1·2·3α2-1=4，则α1=2，α2=1，x=12。

ⅴ)当α1,α3≠0,α2=0时，有φ(x)=φ(2α15α3)=2α1-14·5α3-1=4，则α1=α3=1，x=10。

ⅵ)当α2,α3≠0,α1=0时，有φ(x)=φ(3α25α3)=2·3α2-14·5α3-1=4，无解。

ⅶ)当α1,α2,α3≠0时，有φ(x)=φ(2α13α25α3)=2α1-12·3α2-14·5α3-1=4，无解。

引理7Ⅰ)若φ(x)=6，则x=7,9,14,18；Ⅱ)若φ(x)=12，则x=13,21,26,28,36,42；Ⅲ)当φ(x)=18，则x=19,27,38,54；Ⅳ)若φ(x)=24，x=35,39,45,52,56,70,72,78,90；Ⅴ)若φ(x)=36，则x=37,57,63,74,76,108,114,126。

证明同引理6可得。

2主要结果

定理1不定方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))满足m≤n的所有正整数解为(15,52);(15,56);(16,35);(16,39);(16,45);(20,39);(24,35);(13,21);(13,28);(13,36);(13,42);(21,26);(8,26);(8,42);(10,26);(10,28);(10,36);(10,42);(12,26);(14,18);(9,21);(9,42);(18,21);(15,24);(8,28);(8,36);(12,28);(7,63);(7,126);(14,63);(9,36);(12,12)。

证明令(m,n)=d，则有d|m，d|n由引理3得

φ(d)|φ(m)，φ(d)|φ(n)

即存在a,b∈Z+使得

φ(m)=aφ(d),φ(n)=bφ(d)

由引理4得

又

φ(mn)=6(φ(m)+φ(n))=6(aφ(d)+bφ(d))

即有

下面对d进行分类讨论，不妨设a≤b。

从而有

a=7,b=42;a=8,b=24;a=9,b=18;a=10,b=15或a=12,b=12

又

φ(d)=1

所以

φ(m)=7,φ(n)=42;φ(m)=8,φ(n)=24;φ(m)=9,φ(n)=18;φ(m)=10,φ(n)=15

或φ(m)=12,φ(n)=12。

若

φ(m)=7,φ(n)=42，

由引理5得，方程无正整数解。

若

φ(m)=8,φ(n)=24，

则有

(m,n)=(15,32);(15,56);(16,35);(16,39);(16,45);(20,39);(24,35)。

若

φ(m)=9,φ(n)=18，

由引理5得,方程无正整数解。

若

φ(m)=10,φ(n)=15，

由引理5得，方程无正整数解。

若

φ(m)=12,φ(n)=12，

则有

(m,n)=(13,21);(13,28);(13,36);(13,42);(21,26)。

从而有

a=4,b=12；或a=6,b=6。

又

φ(d)=1，

所以

φ(m)=4,φ(n)=12或φ(m)=6,φ(n)=6。

若

φ(m)=4,φ(n)=12，

则有

(m,n)=(8,26);(8,42);(10,26);(10,28);(10,36);(10,42);(12,26)。

若

φ(m)=6,φ(n)=6，

则有

(m,n)=(14,18)。

从而有

a=3,b=6或a=4,b=4。

又

φ(d)=2，

所以

φ(m)=6,φ(n)=12或φ(m)=8,φ(n)=8。

若

φ(m)=6,φ(n)=12，

则有

(m,n)= (9,21);(9,42);(18,21)。

若

φ(m)=8,φ(n)=8，

则有

(m,n)=(15,24)。

从而有

a=2,b=6或a=3,b=3。

又

φ(d)=2，

所以

φ(m)=4,φ(n)=12或φ(m)=6,φ(n)=6。

若

φ(m)=4,φ(n)=12

则有

(m,n)=(8,28);(8,36);(12,28)。

若φ(m)=6,φ(n)=6，与(m,n)=4矛盾，所以方程无正整数解。

从而有

a=2,b=2。

又

φ(d)=2，

所以

φ(m)=4,φ(n)=4。

当φ(m)=4,φ(n)=4时，与(m,n)=6矛盾，所以方程无正整数解。

从而有

a=1,b=6。

又

φ(d)=6，

所以

φ(m)=6,φ(n)=36，

则有

(m,n)=(7,63);(14,63);(7,126)。

从而有

a=1,b=3。

又

φ(d)=4，

所以

φ(m)=4,φ(n)=12，

当φ(m)=4,φ(n)=12时，与(m,n)=8矛盾，所以方程无正整数解。

从而有

a=1,b=2。

又

φ(d)=6，

所以

φ(m)=6,φ(n)=12。

当

φ(m)=6,φ(n)=12，

则有

(m,n)=(9,36)。

从而有

a=1,b=1。

又

φ(d)=4，

所以

φ(m)=4,φ(n)=4。

则有

(m,n)=(12,12)。

通过以上讨论，可得不定方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))满足m≤n的所有正整数解为(15,52);(15,56);(16,35);(16,39);(16,45);(20,39);(24,35);(13,21);(13,28);(13,36);(13,42);(21,26);(8,26);(8,42);(10,26);(10,28);(10,36);(10,42);(12,26);(14,18);(9,21);(9,42);(18,21);(15,24);(8,28);(8,36);(12,28);(7,63);(7,126);(14,63);(9,36);(12,12)。

参考文献：

[1]ROSENKH.ElementaryTheoryandItsApplications[M].AddisonWesley：Fifthedition,PearsonEducation,Inc,2005.

[2]GUYRK.UnsolverdProblemsinNumberTheory[M].Thirdedition,Beijing;SciencePress,2004.

[3] 左可正.欧拉函数不定方程的可解性探讨[J].黄石理工学院学报,2008,24(2):49-52.

[4]MAKOWSKA.OnSomeEquationsInvolvingFunctinosand[J].MathMonthly,1960,67:668-670.

[5]SUNCF,CHENGZ.SomekindofequationinvolvingEulerfunction[J].JournalofMathematicalStudy,2010,43(4):364-369.

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[7] 张四保.关于方程φ(xyz)=4(φ(x)+φ(y)+φ(z))[J].东北石油大学学报，2013,37(6):113-118.

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[11]田辰亮，付静，白维祖.一个包含欧拉函数的方程[J].纯粹数学与应用数学，2010，26(1)：96-98.

The positive integer solutions of Euler functionφ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))

GUO Rui,ZHAO Xiqing,ZHANG Lixia,XU Hongxing

(College of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an, Shaanxi 716000,China)

Abstract:Based on φ(n) be Euler function, discussed the positive integer solutions of Diophantine equation φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n)).We give all positive integer solutions by using elementary methods which satisfy m≤n.

Key words:Euler function; positive integer solutions; diophantine equation; elementary methods

文章编号：1004—5570(2016)02-0060-04

收稿日期：2016-01-18

基金项目：陕西省教育厅科研计划资助项目(2013JK0557);2013延安大学自然科学专项基金资助项目(YD2013-05);延安大学研究生教育创新计划项目

作者简介：郭瑞(1990-)，女，在读研究生，研究方向：数论，E-mail:744910359@qq.com. *通讯作者：赵西卿(1965-)，男，副教授，硕士生导师，研究方向：解析数论，E-mail:ydzhaoxiqing@126.com

中图分类号：O156

文献标识码：A