刘　念

(南阳师范学院 数学与统计学院，河南 南阳 473000)



10是孤独数的初等数学方法探讨

刘念

(南阳师范学院 数学与统计学院，河南 南阳 473000)

[摘要]在数论中，许多正整数已被证明是孤独数或者是友谊数，但还有许多正整数并未证明其是否是孤独数，例如10，14，15，20等等，文章通过数学初等方法对正整数的分类讨论，筛除，反证来探讨10是一个孤独数的条件。

[关键词]素数；孤独数；因子函数；整数分解；分类讨论

数学中有太多的问题和观点值得我们去探讨和研究，有些问题是极具挑战性的，例如哥德巴赫猜想，费马定理等等，这些问题有的用了几个世纪的时间才把它彻底解出来，而有的至今仍是未解之谜。本文所探讨的孤独数也是诸多数学问题中的一个，下面通过初等数学方法证明数字10是一个孤独数。

1基本概念与定理

1.1定义

1.2算术基本定理

1.3约数和定理

2初等数学方法证明10是孤独数

3分类讨论

2.当n∈M1且n不能被3整除时，此时则有

K值2K+2的值14384106147169201022…………

(2)当3k-1(k取正整数)为奇数时，k取大于0的偶数，而当k=2时，可以知道n=50，不符合②式；而当k取大于2的偶数时，则有3k-1是奇合数或者素数。若3k-1为素数时，此时n=2×5×(3k-1)，根据①式得：

(3)当3k+1为偶数时，此时与情况(1)相同，这里不在重复叙述。

(4)当3k+1(k取正整数)为奇数时，此时k取大于0的偶数。而此时3k+1又可分为奇合数或者素数。若3k+1为素数时，n=2×5×(3k+1)，根据②式可得：

由①式化简得：

2.当n∈Q1且不能被3整除时，此时则有

K值2K+1的值25375116138179191123122514291531…………

所以根据2K+1的值将其分为两类：一类是以5为首项，6为公差的等差数列，即5+6(k-1)=6k-1，第二类是以7为首项，6为公差的等差数列，即7+6(k-1)=6k+1。