王宏伟，尚蒙娟，徐国雄

(安阳师范学院 数学与统计学院，河南 安阳 455000)



一类广义KdVKS方程初值问题的不适定性

王宏伟，尚蒙娟，徐国雄

(安阳师范学院 数学与统计学院，河南 安阳 455000)

[摘要]研究了一类广义KdVKS方向的初值问题. 通过构造合适的初值， 在Sobolev空间Hs(R)(s<-1)中证明了这类方程的解映射不是C3的， 得到了这类初值问题的不适定性.

[关键词]初值问题;KdVKS方程;不适定性

1引言

本文研究如下一类具有立方非线性项的KdVKS方程的初值问题:

(1)

其中u=u(x，t)是未知函数. 方程(1)是很多物理问题的数学模型， 如它可以描述斜面上粘性流体长波流[1]和等离子体中的漂移波[2].

如果方程(1)的解是存在唯一的， 并且解映射是光滑的， 则称方程(1)是适定的. 如果其中至少有一个条件不成立， 就称方程是不适定的.Biagioni[3]在非线性项是(ux)2和uxxu的条件下研究了KdVKS方程的适定性问题， 在Hs(R)(s≥1)中证明了方程的整体适定性，Pilod[4]在Hs(R)(s≥-1)证明了方程的局部适定性. 对非线性是(u3)x的适定性问题， 目前还没有相关结果. 本文利用Molinet[6]的方法来研究方程(1)的不适定性问题. 主要结论如下：

2初步结果

方程(1)对应的线性方程是

ut+uxxx-(uxxxx-uxx)+(u3)x=0，

u(0)=φ0

(2)

它的唯一解可以用半群W(t)来表示

(3)

根据Duhamel原理， (2)的解可以表示为积分方程

(4)

引理1α，β是任意实数，t>0， 下列积分不等式成立

(5)

下面的定理在不适定性结论的证明过程中起着关键的作用.

(6)

(7)

(8)

下面我们取合适的φ来证明(8)是不成立的.

取初值φ定义如下

这里Ψ+(ξ)≥0是一个支集包含在[5/6，1]中的光滑函数， 且对任意的ξ∈[21/24，23/24]，Ψ+(ξ)=1，Ψ+(ξ)=Ψ-(ξ). 注意到对任意的实数s，‖φ‖Hs～1.

下面我们来计算f(x，t)的Hs范数， 其中

对空间变量x作Fourier变换， 得到

(9)

由于对任意的

其中第一项的支集在[5N/2，3N]内，g(t，ξ)的支……