刘君++韩黎明

摘要 本文通过分析北宋著名学者欧阳修《生查子·元夕》中的名句“月上柳梢头，人约黄昏后”，根据不同地点的经纬度和天文学数据以及利用多种天文算法建立了一系列月出月没、日出日落的数学模型，并将地球自转、月球绕地球旋转引起的天文现象与人们的生活习性相结合，通过使用MATLAB软件求得了不同时间、不同地点的符合题意的解，同时利用Stellarium（虚拟天文馆软件），对各个所求解进行了仿真验证，确保了计算结果的真实准确性。

关键词： 天体运行 天文算法 Stellarium MATLAB

中图分类号：O242.1

一、 问题分析

根据题目要求结合我们的生活习惯，定义“月上柳梢头”为月亮上升到与地平面夹角15度以上位置，然后根据天文参数建立月球的升落时间模型，解出月球升起的时间，再根据月球绕地球旋转的角速度找出月球运行到与地平面夹角15度的日期与时间，即是题中要求的“月上柳梢头”的日期与时间；接着继续定义“黄昏后”的时间，考虑到不同地区所在的经、纬度不同，也就是太阳落到地平面以下的时间不一致，所以根据天文学定义，“黄昏”应该是从太阳与地平面平齐开始，一直到下降到地平面以下12.5度所用的时间段，我们将这段时间定义为“黄昏后”从而求出一个时间段，进而与日没的时刻相加，即可求得“人约黄昏后”发生的日期和时间。接着根据能够查到的天文资料太阳和月亮在天空中的位置，以及日出日没时刻、月出月末时刻来验证我们所求得的模型的合理性。

在前面已建模型的基础上，通过地图查询到2016年哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐的经纬度，然后依旧建立月球绕地运动轨迹的数学模型，分别求出“月上柳梢头”和“人约黄昏后”的日期和时间，然后看其是否能够取到交集，如果能够取到交集就说明在这座城市里有能够既满足“月上柳梢头”以能够实现“人约黄昏后”的日期和时间，否则这座城市，在这一年度里将不会有出现题目要求的日期和时间。

二、模型假设

（1）将地球假设为一个标准的球体；

（2）将月球看作一个质点；

（3）忽略其它星球对月球以及地球的影响；

（4）忽略大气、引力变化等自然因素对月球绕地球旋转以及地球自转的影响；

（5）通过查阅资料假设诗人作诗地点为现在的河南省开封市

三、模型建立与求解

对于问题一通过查询相关资料，我们知道这首诗是写于正月十五，也就是圆宵节，而根据月球绕地球公转，月亮是会从初一的朔逐渐变为上弦月然后在农历十五左右形成满月，再慢慢减少变为下弦月，最后消失。通过分析可知，月球绕地球的时间大约是在24小时48分钟，从图2中我们可以看出“月上柳梢头”即为月球绕地球旋转15度所需的时间，我们可以利用下面的等式求出：

经过计算求得a为62min，也就是说求得月出的时间然后加上62分钟，就是题目要求的“月上柳梢头”的时间。

针对“黄昏后”这一问题，我们通过上述建立的模型，根据T2、T3可以求得日落的时间，然后根据地球自转需时23h56min，由于地球围绕太阳转产生日出日落现象，现我们将地球作为一个静止的参考系，则可以看成是太阳围着地球转，太阳转过15度到30度角所需的时间可以根据如下的公式求出：

。

经过计算求得c为60.23min，也就是说求得日落的时间然后加上60.23min到日落的时间加上120.46min，就是题目要求的“人约黄昏后”的时间段。

在第二问中，题目要求判断在哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐这六个城市是否能出现这一情景，我们采用与第一问相同的方法，分别根据这六个城市的经纬度建立月出月没的数学模型，再利用“黄昏后”这一时间段作为限制条件，通过计算来判断月亮是否通够在这一时间段内上升到与地平线成30度角的位置，如果能达到即为“月上柳梢头”，如果达不到那将不会出现题目中所说的情景。

四、模型的改进

①在本问题中，我们认为“月上柳梢头”就是月亮与地平线夹角在15度以上，这在不同的地方由于经纬度的不同，以及周围地理环境的不同，可能会导致计算误差，只有将不同地区的气侯条件和生态因素充分考虑进去，才能使计算结果下加精确。

②我们定义“黄昏后”为太阳落到地平面以下15度到30度的时间段，这也有一定的局限性，由于我国地域辽阔，生态环境多种多样，根据人们的生活习性不同，其实黄昏开始和持续的时间也各有不同，按照古人所讲，一更即为黄昏其持续时间是19点到21点，而19点对于我国新疆来说太阳还没有落山，对于成哈尔滨可以18点就已经进入了黄昏时间，所以我们应该根据不同地区分别定义黄昏，才能保证结果的更加准确性和可靠性。

参考文献

[1]司守奎、孙玺菁.数学建模算法与应用[ISBN978-7-118-07647-9].北京：国防工业出版社，2011.

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[3]王家文等.MATLAB7.0图形图像处理[ISBN7-118-04543-8].北京：国防工业出版社，2011.

[4]陈光亭、裘哲勇.数学建模第2版[ISBN978-7-04-038705-6].北京：高等教育出版社，2014.