赵渊嫣，杨　辉，陈　莎

(贵州大学理学院 ，贵州　贵阳　550025)



广义变分不等式解的精炼*

赵渊嫣，杨辉，陈莎

(贵州大学理学院 ，贵州贵阳550025)

摘要：主要通过对集值映射Φ的定义域X和法锥映射进行扰动，对Φ的广义变分不等式的解进行精炼，进一步提出稳定解和法锥稳定解的定义，并证明其存在性结果。

关键词：广义变分不等式；精炼；定义域；法锥映射

0引言

设X是n维欧氏空间Rn的一个子集，是X到Rn的映射。 如果存在x*∈X满足：

(x*-x)T(x*)≥0，∀x∈X

则称x*为关于的变分不等式的解，其中：aTb表示向量a∈Rn和b∈Rn的内积。

众所周知，变分不等式的问题在很多领域都有重要的应用，特别是在a∈Rn非合作博弈、经济平衡理论、不动点理论、非线性最优化理论和交通网络均衡[1-4]中。而在这些应用中，解往往都不是唯一的，所以需要对解进行精炼[5-6]。

广义变分不等式问题如下：

设X是Rn的一个子集，Φ：X→P0(Rn)为集值映射。 这里，P0(Rn)表示Rn中所有非空子集。如果存在x*∈X，z∈Φ(x*)使得：

(x*-x)Tz≥0， ∀x∈X

则称x*为关于Φ的广义变分不等式的解。

而关于Φ的广义变分不等式的解的存在性，在文[8]中已有相关结果： 即X是Rn的非空紧凸子集，Φ：X→P0(Rn)为上半连续的集值映射，且∀x∈X，Φ(x)是Rn中的紧凸集。

广义变分不等式中，其解通常是不唯一的，所以需要对其进行精炼，以满足应用的需求。

在var der Laan，Talman和Yang[9]的文章中，提出了变分不等式解的一种精炼方法，在此将之推广到广义变分不等式中。

本文主要是借助一列扰动，去掉那些不符合要求的解，且至少保留一个解，称之为稳定解。 精炼的主要思想是通过对Φ的定义域X和法锥的扰动来剔除不稳定的解，以实现解的精炼。……