摘 要： 本文主要以均匀和非均匀物质分布为基础，采用了局部均匀求近似，利用极限得精确的数学思想方法，探讨了导数和积分是处理均匀量中的乘法和除法在处理相应的非均匀事物的发展，简单地分析积分和微分之间的关系。

关键词： 微积分 均匀 非赵红妮均匀

由于物体运动过程中某一时刻的瞬时速度、曲线在一点处的切线问题、函数的最值、曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心等这一系列问题的出现促使了微积分的诞生。国际数学家教育委员会前主席、荷兰数学家H.Freudental说：“没有一种数学思想以它被发现时的那个样子发表出来，一个问题被解决以后，相应地发展成为一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成冰冷的美丽。”

任何事物都有其微观和宏观不同的表现形式，现将其简单地归纳如下。

通过上表可以看出，任何事物都有两面性的体现，而我们所探讨的微分与积分也是在初级教学中乘法除法的一个延伸，用以解决实际中的问题。

1.均匀与非均匀物质变化率

现以均匀与非分布的物质从质量分布的细密程度、单位长度上的变化、变化率、函数表达式及图形来对比两者之间的共性和不同。

通过表2可以看出，非均匀分布与均匀分布基本类似，非均匀物质在各方面的表示都是均匀物质的推广，由线性函数到非线性函数，从直线到曲线，均匀物质是非均匀物质分布的特殊情况，而非均匀物质是均匀物质的推广。

2.微积分方法的本质（物质细棒）

不管从微观还是宏观角度而言，解决的基本思想方法是一样的“局部均匀求近似”“利用极限得精确”；导数与定积分分别是处理均匀量的商和积在处理相应的非均匀量中的发展；均匀物体用乘除法，非均匀物体采用微积分。

3.微分与积分的关系

现以线密度为μ（x），求质量为m（x），探讨微分与积分的关系。

1）在微小一段[x，x+Δx]上对μ（x）以“不变代变”，求质量m（x）增量的近似值。

对上式两边求微分可得=μ（x），则m（x）为μ（x）的原函数，而μ（x）是m（x）的导函数，两者之间是原函数与导函数的关系。

2）同理是否可在[a，b]区间上对导函数μ（x）以“不变代变”求原函数m（x）增量的近似值呢？上述这个例子是否具有普遍性？

假设F= f（x）dx成立，则可推出F（x）= f（u）du，u∈（a，b）。

若f（x）是[a，b]上的连续函数，则有

假设f（x）是[a，b]上的连续函数，则有

通过上式可以看出

4.总结

1）导数和积分是商和积的发展，即导数和积分是处理均匀量中商和积两个概念在处理相应地非均匀量事物的发展，也就是说导数和积分是处理均匀量中的乘法和除法在处理相应的非均匀量事物的发展；

2）积分是微分的无限累加，求积分的关键在于求微分；

3）求微分就是寻找所求量的微小增量的线性主部，通常可先寻找所求量非均匀分布的某一量，由于此量的变化造成非均匀分布，将此量在微小局部以“不变代变”便可得到所求微分。