张姗姗 王健 / 上海市计量测试技术研究院



圆柱外螺纹单一中径精确公式与近似公式的计算结果对比

张姗姗 王健 / 上海市计量测试技术研究院

摘 要选用不同螺旋升角、不同牙型角、不同螺距的螺纹校对规，采用三针法测量圆柱外螺纹的单一中径。分别使用近似公式和精确公式计算圆柱外螺纹单一中径的测量结果。对比圆柱外螺纹单一中径精确公式和近似公式的计算结果，进而得出近似公式和精确公式分别适用的范围。

关键词圆柱螺纹；单一中径；三针法；计算公式

0　引言

国家标准GB/T 28703-2012 《圆柱螺纹检测方法》分别给出了在参考条件下对称圆柱外螺纹和非对称圆柱外螺纹单一中径的精确计算公式。而长期以来，国内外对于对称和非对称圆柱外螺纹单一中径的测量结果计算多数采用螺旋升角为零的近似计算公式。本文将探讨精确计算公式和近似计算公式两者的差别，以及符合什么特质的螺纹可以采用近似计算公式，什么类型的螺纹适合采用精确计算公式。

1　三针法测量对称圆柱外螺纹单一中径的近似计算公式

式中：d2—— 被测螺纹的单一中径值；

m —— 在参考条件下，量针与螺纹两侧牙槽接触，量针中心在垂直于螺纹轴线方向上的距离；

dm—— 量针直径；

α/2 —— 被测螺纹的牙侧角，对称螺纹的α/2 = α1= α2，rad；

P —— 被测螺纹的螺距值

2　三针法测量圆柱外螺纹单一中径的精确计算公式

2.1三针法测量对称圆柱外螺纹单一中径的精确计算公式

式中：β —— 量针中心与切点的连线与θ平面的夹角，rad；

Ph—— 被测螺纹的导程；

θ —— 量针与牙侧面切点和螺纹轴线的平面（θ平面）与过量针中心和螺纹轴线平面的夹角，rad；

δB —— 牙侧面形状偏差等未考虑的非理想因素所引入的修正值

θ和β按式（3）、（4）进行迭代计算：

2.2三针法测量非对称圆柱外螺纹单一中径的精确计算公式

非对称圆柱外螺纹的单一中径可转换成对称圆柱外螺纹的单一中径计算。首先将左右两侧牙侧角α1、α2分别替代对称圆柱外螺纹单一中径计算公式中的α/2，求得左右两侧的当量中径d21、d22。在参考条件下，非对称圆柱外螺纹的单一中径按式（5）计算。

3　计算公式比较

3.1选用公差带较小的60°公制圆柱外螺纹校对规进行计算对比

以M6×1-6g(TT)为例，给出该圆柱外螺纹校对规的参数，如表1所示。

表1　M6×1-6g的参数

3.1.1近似计算公式

使用式（1）计算，得到如下结果：

3.1.2精确计算公式

使用式（3）（4）计算，得到如下结果：

根据式（6）（7），可以迭代计算出θ和β的值：

θ = 0.005 321 648 936 321 35 rad；

β = 0.051 977 989 773 942 8 rad

将θ和β分别代入式（6）（7）（2）中，得到如下结果：

根据校准实验室的要求，评定出螺纹校对规单一中径测量结果的不确定度为U = 2 μm（k = 2），故得到该螺纹校对规近似计算公式的计算结果为d2= 5.306 mm，U = 2 μm（k = 2），也可表示为[5.304 mm，5.308 mm]，包含概率为95%。该计算结果在国家标准允许范围[5.303 mm，5.311 mm]内。精确公式的计算结果为d2= 5.305 mm，U = 2 μm（k = 2），也可表示为[5.303 mm，5.307 mm]，包含概率为95%。该计算结果也在国家标准允许范围[5.303 mm，5.311 mm]内。所以，可以认为此螺纹校对规使用近似公式和精确公式对测量结果的影响不大。

3.2选用30°的公制梯形外螺纹进行计算对比

以Tr20×5－7 h(TZ)为例，给出该圆柱外螺纹校对规的参数，如表2所示。

3.2.1近似计算公式

使用式（1）计算，得到如下结果：

3.2.2精确计算公式

使用式（3）（4）计算，得到如下结果：

根据式（8）（9），可以迭代计算出θ和β的值：

θ = 0.012 438 167 117 593 rad；

β = 0.088 160 742 331 301 9 rad

将θ和β代入式（8）（9）（2）中，得到如下结果：

根据校准实验室的要求，评定出螺纹校对规单一中径测量结果的不确定度为U = 2 μm（k = 2），故得到该螺纹校对规近似公式的计算结果为d2= 17.529 mm，U = 2 μm（k = 2），也可表示为[17.527 mm，17.531 mm]，包含概率为95%。该计算结果超出了国家标准的允许范围[17.481 mm，17.503 mm]。而精确公式的计算结果为d2= 17.492 mm，U = 2 μm （k = 2），也可表示为[17.490 mm，17.494]，包含概率为95%。该计算结果在国家标准允许范围[17.481 mm，17.503 mm]内。由上述比较可得知，如果根据近似公式计算结果判定，会使符合国家标准的螺纹校对规被判定为不符合，因此，此螺纹校对规仅可以使用精确公式计算，不能使用近似公式计算。

注1：假设测量力为0，即不进行弹性变形的修正。

表2　Tr20×5-7h的参数

注2：假设牙侧面形状偏差等未考虑的非理想因素所引入的修正值为零，即δB = 0。

4　近似公式和精确公式计算结果的比较

4.1对称圆柱外螺纹单一中径计算

以多种规格的对称圆柱外螺纹校对规为例，给出对称圆柱外螺纹单一中径计算的相关参数，如表3所示。

由表3可见，所有公制圆柱外螺纹（M），近似公式和精确公式的计算结果之差Δd2≤0.002 mm。取Δd2= 0.002 mm，计算归一化偏差值En：

|En| < 1，而且近似公式和精确公式的计算结果都包含在国家标准规定的上下偏差之内。而对于梯形螺纹（Tr），使用近似公式和精确公式的计算结果之差Δd2差异较大。在表3所列的梯形螺纹中，对于公称直径相对于螺距较小的螺纹，也就是螺旋升角较大的螺纹，例如Tr16×4-7h(ZS)和Tr20× 5-7h(TT)，其单一中径测量结果的不确定度为U = 2 μm（k = 2），近似公式与精确公式的计算结果之差Δd2> 0.02 mm。取Δd2= 0.02 mm，计算归一化偏差值En：

|En| < 1，因此近似公式的计算结果不能作为最终的测量结果。

4.2非对称圆柱螺纹单一中径计算

以比较极端的3°30°锯齿形圆柱外螺纹为例来说明非对称圆柱外螺纹使用近似公式和精确公式计算单一中径的差异。

4.2.1三针法测量3°30°非对称锯齿形圆柱外螺纹单一中径的近似计算公式

4.2.2非对称圆柱外螺纹近似公式和精确公式计算单一中径的比较

以多种规格的非对称圆柱外螺纹校对规为例，给出非对称圆柱外螺纹单一中径计算的相关参数，如表4所示。

由表4可见，对于所列的非对称螺纹，近似公式和精确公式的计算结果之差Δd2的绝对值≥0.069 mm。取Δd2= -0.069 mm，计算归一化偏差值En：

|En| > 1，因此对于非对称圆柱外螺纹，近似公式的计算结果不能作为最终的测量结果，而必须使用精确公式计算。近似公式不适用于非对称圆柱螺纹。

表3　对称圆柱外螺纹单一中径计算的相关参数

表4　非对称圆柱外螺纹单一中径计算的相关参数

5　结语

本文以M6×1-6g(TT)，Tr20×5-7h(TZ)为例，利用近似公式和精确公式分别计算对称圆柱外螺纹的单一中径。M6×1-6g(TZ)这个规格的螺纹校对规，螺旋升角几乎为零，且为对称螺纹，使用近似公式和精确公式的计算结果差异性不大。Tr20×5-7h(TZ)这个规格的螺纹校对规也为对称螺纹，由于螺旋升角较大，使用近似公式和精确公式的计算结果差异性很大。通过这样的步骤计算出多种规格的对称和非对称圆柱外螺纹单一中径值。通过对不同螺旋升角、不同牙型角以及不同螺距的圆柱外螺纹使用近似公式和精确公式进行单一中径计算和对比，得到结论如下：近似公式适用于螺旋升角几乎为零的对称圆柱外螺纹。如果螺旋升角较大，或者螺纹为非对称螺纹，应当使用精确计算公式。使用近似公式会造成很大的误差。

参考文献

[1] 全国量具量仪标准化技术委员会（SAC/TC132）.GB/T 3934 -2003 普通螺纹量规 技术条件[S].北京：中国标准出版社，2003.

[2] 全国螺纹标准化技术委员会（SAC/TC108）.GB/T 196-2003 普通螺纹 基本尺寸[S].北京：中国标准出版社，2003.

[3] 全国螺纹标准化技术委员会（SAC/TC108）.GB/T 197-2003 普通螺纹 公差[S].北京：中国标准出版社，2003.

[4] 全国螺纹标准化技术委员会（SAC/TC108）.GB/T 2516-2003 普通螺纹 极限偏差[S].北京：中国标准出版社，2003.

[5] 全国几何量长度计量技术委员会.JJF 1345-2012 圆柱螺纹量规校准规范[S].北京：中国质检出版社，2012.

[6] 全国螺纹标准化技术委员会（SAC/TC108）.GB/T 28703-2012 圆柱螺纹检测方法[S].北京：中国质检出版社，2012.

[7] 沈志平.关于三针法测量螺纹中径计算公式的探讨[J].机械制造与自动化, 2010, 40(03):59-62.

[8] 刘远模.螺纹量规使用尺寸手册大全[M]. 北京：中国质检出版社，2013.

[9] 杨绪亭.非标准锯齿形螺纹中径的三针量法[J].机械工人，1984 （7）：12-15.

The comparison of calculation results by the precise and approximate formula for single pitch diameter of external cylindrical threads

Zhang Shanshan，Wang Jian
（Shanghai Institute of Measurement and Testing Technology）

Abstract:Seveval plug gauges with different helix angles, tooth angles and pitchs were adopted to measure single pitch diameters of external cylindrical threads by the three-needle method.Two kinds of formulae, precise and approximate, were used respectively to calculate the measuring results. The comparison results showed that two kinds of calculation formulae were suitble for different types of thread measurement.

Key Words:cylindrical thread; single pitch diameter; three-needle method; calculation formula