陈学彬,詹杰民,苏 炜

(中山大学应用力学与工程系，广东 广州 510275)

相邻多浮体与波浪作用的共振物理现象数值模拟*

陈学彬,詹杰民,苏 炜

(中山大学应用力学与工程系，广东 广州 510275)

基于Fluent的二次程序开发功能，利用动量源项造波方法，构建了数值造波消波水槽。利用所建立的数值水槽，对波浪与相邻三浮体作用的共振物理现象进行了数值模拟，数值模拟结果与实验结果吻合良好。研究结果表明在低频波下，浮体系统中越靠后物体所受水平力反而越大。随后探讨了浮体浸没水深对共振的影响，指出任意物体浸没水深变小都将使得间隙共振频率往高频移动；所有物体水平受力大小与自身浸没水深总体成正相关，而竖直受力大小与自身浸没水深的关系对不同物体而言不同。最后探讨了双浮体系统中第三物体的前后加入形式对共振物理现象的影响，指出第三物体前后形式的加入都将使得间隙共振频率往低频移动，并且很大可能将出现第二共振频率。

共振；浮体；造波；浸没水深

波浪与相邻多浮体相互作用的复杂水动力现象在近些年来已经引起越来越多学者的关注，如Koo和Kim[1]、Zhu等[2]、Sauder等[3]和Lu等[4]。而这些研究的产生是基于人类对海洋石油和天然气等资源的巨大需求。为获取这些资源，大量的相邻多浮体结构，比如渔网网箱、油井平台和防波堤等正在兴建，而这些结构又必然要承受海洋中波浪力的巨大作用和破坏。由于这种相邻多浮体在波浪中容易产生共振物理现象而对浮体结构造成破坏，研究人员需要对这种相邻多浮体在共振中的力学原理进行研究分析，才能对这些浮体系统的设计和安置提供安全可靠建议。

早期学者们利用势流理论来研究这种波浪与相邻多浮体的共振物理现象。谢楠和郜焕秋[5]基于势流理论，指出当两浮体距离达到浮体系统一半左右长度时，两浮体相互作用就会非常明显；滕斌等[6]应用比例边界有限元法研究了相邻双箱的水动力特点，发现共振频率随狭缝宽度和箱体宽度的增大而减小；Miao等[7-8]利用边界元积分方法和势流理论对两个距离很近的浮体进行了研究，分析指出双浮体在共振中受力大小可达到单浮体受力10倍以上。另外Li等[9]，Zhu等[10]和Sun等[11]也用势流理论对此共振现象进行了分析。由于传统势流理论不考虑流体的黏性和能量的耗散，虽然准确预测了共振频率，但是往往估大了共振强度。Newman[12]、Chen等[13]和Bunnik等[14]在势流理论的基础上引入人工耗散项提高了势流理论预测共振强度的准确性，但是由于不同的文章耗散项数值难以有统一尺度，所以有必要用黏性流体对共振强度进行预测。陈学彬等[15]、Lu等[16-17]和Sauder等[3]使用黏性流体准确预测了共振频率和共振强度。目前为止，学者们对相邻多种浮体系统中任意物体的浸没水深变化对间隙共振和浮体受力的影响研究较少，另外双浮体系统中第三物体的前后加入形式也将对间隙共振产生重要影响，本文将基于以上两点展开研究。

本文利用动量源项方法在Fluent中建立了数值造消波水槽,考虑和详细探讨了在波浪和相邻三浮体作用的共振现象。文中首先对波浪和三浮体作用进行了数值模拟和实验验证，随后探讨了任意浮体浸没水深对间隙共振和浮体受力的影响，最后分析了双浮体系统中第三浮体的加入方式对共振的影响。

1 数学模型

1.1 基本方程

基本的控制方程采用黏性不可压缩流体的N-S 方程：

(1)

(2)

(3)

其中，u和v分别为x和y方向的速度分量，μ为动力黏性系数，ρ为密度，p为压强,g为重力加速度，Sx和Sy分别为x和y两个方向的附加动量源项，本文基于周勤俊等[18]通过在源项上引入用户自定义函数实现带有前端造波区的数值水槽。

VOF方法将用于自由面的捕捉。体积分数函数αq定义为单元内第q相流体所占有的体积与该单元的体积之比。若αq= 0，表明单元内没有第q相流体；若αq= 1，表明单元内全部为第q相流体；若0 <αq< 1，那么该单元则称为交界面单元。对于本文数值水槽的问题，只有空气和水两相，故αq下列方程：

(4)

(5)

1.2 数值造波和消波方法

本文基于周勤俊等[18]给出的理论方法，采取动量源项方法，建立了数值造消波水槽如图1所示。

图1 数值波浪水槽示意图Fig.1 Schema of numerical wave tank

整个水槽分为4个部分：前端造波段、前端消波段、工作段和尾端消波段。

在前端造波段和前端消波段的波动场中，速度取值如下：

(6)

其中下标c代表计算值，下标i代表入射值。C(x)是一个随着距离x变化的函数,x= 0 表示前端造波段或前端消波段的起点，x= 1 表示前端造波段或前端消波段的终点。本文结合作者造波经验给出了前端造波段和前端消波段中C(x)的表达式分别如方程(7)和(8)所示：

(7)

(8)

对于前端造波段，C(0)=1，C(1)=0；而对于前端消波段，C(0)=0，C(1)=1。根据方程(7)和(8)给出了C(x)随x的变化图，如图2所示。

图2 C(x)随距离x的变化图Fig.2 The variation of C(x) with respect to x

在前端造波段和前端消波段中，动量源项通过上述方程(2)和(3)中的Sx和Sy引入。通过使用用户自定义函数(user define function，UDF)，将动量源项Sx和Sy的表达式引入动量方程。源项表达式如下：

(9)

(10)

尾端消波区采用Zhan等[19]推荐的多孔介质消波。多孔介质消波是一种仿物理消波方法，即在动量方程中添加动量衰减源项，源项表达式为：

(11)

其中：Si为第i方向的源项，方程的右端第一项为黏性损失项，第二项为惯性损失项。Zhan等[19]已经验证了只取黏性损失项即可达到很好的消波效果。黏性阻力系数1/α在消波段x=xi中的数值由下式确定：

(12)

其中：x0和xe分别为消波区前端和尾端的x坐标。

2 数值计算结果与分析

2.1 实验装置和数值模拟

如图3所示，为波浪与浮体相互作用的物理实验模型，此实验由Saitoh等[20]和Iwatat等[21]完成。A，B和C物体固定于水深h为0.5 m的水槽水面上，三物体的宽度均为B=0.5 m，浸没水深DA=DB=DC=0.252m，间隙1和间隙2宽度Bg=0.05 m，来波波高H0=0.024 m。Hg/H0表示物体间隙之间的平均波高和来流波高的比值。区域网格分布如下：在水气交界面，深水区域和空气区域的竖直方向网格密度分别为dy=H0/30,H0/15和H0/10；在前端造波段和消波段，间隙区域和远离工作区域的水平方向网格密度分别为dx=λ/100,Bg/20和λ/60。其中λ为入射波长。值得注意的是间隙水平方向宽度上分布了20个网格节点，另外由于间隙内部的波面波动情况比浮体系统周围的波动要剧烈，所以整个间隙上竖直方向的网格节点dy均为H0/30。为保证计算的稳定性，时间步长dt=T/1 200，其中T为入射波周期。

图3 实验装置和数值模拟示意图Fig.3 Schema of experimental setup and numerical simulation

在实验中，波浪无法从两侧绕过浮体，反射波浪非常强，所以需要设置前端消波区来保证造波区域不受反射波浪的影响。图4给出了kh=1.6时，两间隙波面随时间的变化，从图中可以看出两间隙间波面在初始阶段震荡不稳定，直到30s(约25个来波周期)后波高才逐步达到稳定。其中k为波数，h为静水深。图5所示为kh=1.35时，间隙之间的波面起降幅度最小和最大附近处的两个时刻的波面示意图。可以看出波面在浮体系统的前方，两间隙之间和系统后方的高度在不同时刻都呈现出不同的分布。两间隙之间的波面起降幅度远大于浮体系统前后方的波面起降幅度。不同来波下，间隙波高数值模拟与实验对比结果如图6所示。从图6可以看出，两个间隙波高变化的数值模拟结果与实验结果吻合的很好。间隙1出现双共振峰值，峰值所在频率分别为1.35和1.65。间隙2也出现了双共振峰值，其中第一共振峰值所在频率kh=1.4，第二共振频率不明显，其所在共振频率为kh=1.65。

图4 kh=1.6时，两间隙波面高度随时间的变化(来波波高，H0 =0.024 m)Fig.4 Time-series of surface elevation between twin bodies at kh=1.6 (incident wave height, H0 =0.024 m)

图5 共振时，不同时刻下浮体系统周围的波面图(kh=1.35)Fig.5 Wave profile around the floating bodies at different time instants(kh=1.35)

图6 两间隙平均波高和来流波高比值Hg/H0随kh的变化与实验结果Fig.6 Comparison of non-dimensional wave height(Hg/H0)with respect to incident wave frequency(kh)in two gaps

图7给出了浮体系统单体和整体受力随kh的变化，波浪力大小均除以ρghH0/2以进行无量化处理。其中H0为入射波高，ρ为水的密度，竖直方向受力已扣除静水浮力。

图7 浮体系统单体和整体受力随kh的变化Fig.7 Forces acting on individual bodies and body system with respect tokh

从图7(a)可以看出，对于水平受力，A物体出现了明显的双峰值，两个峰值所在频率与液面间隙 1的两个共振频率相接近；B物体只有一个单峰值，单峰值所在频率介于间隙1的两个共振频率之间；C物体也出现了双峰值，但是与A物体不同的是，C物体的第二峰值并不明显，第二峰值所在频率与间隙2的第二频率相接近。在低频波(长波)的作用下，后面C物体水平受力最大，中间B物体水平受力其次，前面A物体水平受力最小。随着波的频率增大，在中间某一频率，三物体水平受力趋向相等，kh继续增大后，前面物体A水平受力最大，而B和C物体水平受力很小。这种特殊的系统受力规律对工程应用有潜在的借鉴意义，低频波(长波)作用在这种相邻浮式系统，可能造成后方的浮体水平受力更大，若后方浮体在固定上没有像前方正对波浪的浮体锚固牢靠，将造成破坏，这是值得注意的。

从图7(b)可以看出，对于竖直受力，与水平受力不同的是，三个物体受力均为单峰值，无明显双峰值出现。峰值所在频率域液面间隙1的第一个共振频率相接近。另外在低频和高频波作用下，前置物体比后置物体竖直方向作用力大；在中间某一段频率波作用下，三物体竖直方向受力趋于相等。在绝大多数来波频率下，整体受力均呈现出三物体叠加状态。

对于水平和竖直总受力，在中低频率下，总受力由三物体共同决定。在高频率下，B和C物体受力很小，总受力由A物体决定，这是由于高频波波长很短，波在绕过A物体的时候，波高已经削弱的非常厉害，能传递并且作用到B物体甚至C物体的波能量很小，所以总体受力主要集中于A物体，而B和C物体受力则比较小。

2.2 波浪与不同浸没水深的水上漂浮三物体作用的数值模拟

上述实验中A，B和C三物体有相同的浸没水深(DA=DB=DC=0.252m，工况 222)，为了探讨不同浸没水深对三物体间隙的波高共振幅度和受力的影响，这里考虑另外三种工况：工况 212，工况 122和工况 222，工况后面共有三位数字，其中第一位数字代表A物体，第二位数字代表B物体，第三位数字代表C物体。数值2代表浸没水深为0.252m，数值1代表浸没水深0.152m。例如工况 212表示A物体浸没水深0.252m，B物体浸没水深0.152m和C物体浸没水深0.252m。不同工况下三物体的浸没水深如下表格1所示。

表1 不同工况下三个浮体的不同浸没水深

2.2.1 间隙1和间隙 2液面随频率变化 物体间隙1和间隙2波高随频率变化数值模拟结果如图8所示。

从图8(a)可以看出，在所有工况下，间隙1均出现了双峰值，但是不同工况下，双峰值所对应的频率和大小均有不同。对比工况222和工况212，发现当中间物体B浸没水深变小，工况212的双峰值整体变小，并且峰值频率往高频移动；对比工况222和工况122，发现当前面物体A浸没水深变小，工况122的双峰值所在频率往高频移动，但是与工况212不同的是，第一个峰值相比于工况222的第一个峰值变小，但是第二个峰值数值变大；对比工况222和工况221，发现当后面物体C浸没水深变小，工况221的双峰值所在频率往高频移动，第一个峰值相比于工况222的第一个峰值变大，但是第二个峰值不明显且有消失的趋势。任意一物体水深变小都将使得间隙1的共振频率往右高频移动。

图8 不同工况下间隙平均波高和来流波高比值Hg/H0随kh的变化Fig.8 Non-dimensional wave height(Hg/H0)with respect to incident wave frequency(kh)in different cases

从图8(b)可以看出，在3种工况下间隙2出现了双峰值，在工况122下只有单峰值。不同工况下，双峰值所对应的的频率和大小均有不同。对比工况222和工况212，发现当中间物体B浸没水深变小，工况212的双峰值频率均往高频移动；对比工况222和工况122，发现当前面物体A浸没水深变小，工况122的第一峰值数值变大且所在频率往高频移动，第二个峰值数值消失；对比工况222和工况221，发现当后面物体C浸没水深变小，工况221的双峰值均变小且所在频率往高频移动。与间隙1相同，任意一物体水深变小都将使得间隙2的共振频率往右高频移动。

2.2.2 三浮体水平和竖直方向受力随频率变化 三物体水平和竖直方向受力随kh的变化如图9，图10和图11所示。

图9 A物体受力随kh的变化Fig.9 Forces acting on body A with respect to kh

图10 B物体受力随kh的变化Fig.10 Forces acting on body B with respect to kh

图11 C物体受力随kh的变化Fig.11 Forces acting on body C with respect to kh

对于水平受力：① 当物体自身浸没水深变小时，水平受力在大多数来波频率下均变小，但在共振频率附近变大，如图9中工况222和工况122的A物体水平受力。② 对于两侧物体A和C，当任何一个物体的浸没水深变小，物体A和C的水平受力共振峰值均往高频移动，若保持双峰，那么双峰值数值变小,若双峰值变成单峰值，那么单峰值数值变大，且所在频率介于之前双峰值所在频率之间。对于物体A，当物体C浸没水深变小，作用在物体A上的水平力的双峰值变为单峰值。对于物体C，当物体A浸没水深变小，作用在物体C上的水平力的双峰值变为单峰值。当中间物体B浸没水深变小，作用在物体A或者C的水平力保持双峰值且往高频移动。③ 对于中间物体B, 当B物体自身浸没水深变小的时候，物体水平受力的共振频率往高频移动，且峰值变小。当前后物体A或者C浸没水深变小，B物体水平受力出现双峰值且所在频率刚好在之前单峰值所在频率两侧，其中A浸没水深变小使得双峰值均大于之前的单峰值，C浸没水深变小使得双峰值均小于之前的单峰值。

对于竖直受力：① 任意物体浸没水深变小时，任一物体的竖直受力共振频率均往高频移动。② 对于两侧物体A或者C，当其他物体的浸没水深减小，单峰值保持往右移动。对于物体A，当减小自身的浸没水深的时候，单峰值变成双峰值且数值变大，竖直受力在低频来波下均变大。对于物体C，当减小自身的浸没水深的时候，单峰值变成双峰值且数值变小，竖直受力在低频来波下均变小。③ 对于中间物体B,当减小B物体自身浸没水深的时候，竖直受力峰值变大；当减小C物体浸没水深的时候，竖直受力峰值变小；当减小A物体浸没水深的时候，竖直受力单峰值变成双峰值。

总体而言，水平和竖直受力的共振频率与总体浸没水深直接相关。物体水平和竖直受力大小与波浪频率，浸没水深和摆放位置均有关系。所有物体水平受力大小与自身浸没水深总体成正相关，而竖直受力大小与自身浸没水深的关系对不同物体而言不同。

2.3 第三物体对两物体间隙共振现象的影响

这里除了考虑四种工况 212，工况 122，工况 221和工况 222，另外也加入双浮体的工况。为了方便比较，分别命名为工况 220，工况 210,工况 120，工况 022，工况 021和工况 012。命名与以上命名规则相似，0代表浸没水深为0m，意味着这个位置没有物体。比如工况 220表示A物体浸没水深0.252m，B物体浸没水深0.252m，没有C物体。所以工况 220与工况 022是同一个工况，同理工况 210与工况 021属于同一个工况，工况 120与工况 012属于同一个工况。

图12 后置第三物体C对间隙共振现象的影响Fig.12 Influence of the third rear body C on the resonance

如图12(a)所示，工况220表示初始状态只有两个物体A和B。当加入C物体的时候，原先A和B物体的间隙的共振峰值和共振频率均发生变化。当加入物体C的浸没水深只有0.152m的时候(工况221)，间隙的共振峰值变大，且共振频率往低频移动，但是还是保持着单峰值状态；当加入物体C的浸没水深为0.252m的时候(工况222)，间隙的共振频率继续往低频移动，但是这个时候出现了双峰值，双峰值均比单峰值小，并且对应的共振频率分布在单峰值对应的共振频率两侧。相似的情况也发生图12(b)中。

如图13(a)所示，工况022表示初始状态只有两个物体B和C。当加入A物体的时候，原先B和C物体的间隙的共振峰值和共振频率均发生变化。当加入物体A的浸没水深只有0.152m的时候(工况122)，间隙的共振峰值变大，且共振频率往低频移动，但是还是保持着单峰值状态；当加入物体C的浸没水深为0.252m的时候(工况222)，间隙的共振频率继续往低频移动，但是这个时候出现了双峰值(第二峰值不明显)，双峰值均比单峰值小，并且对应的共振频率分布在单峰值对应的共振频率两侧。相似的情况也发生图13(b)中。

图13 前置第三物体A对间隙共振现象的影响Fig.13 Influence of the third front body A on the resonance

可以归纳为对于两个浮体来说，当在浮体系统前面或者后面加入第三个浮体的时候，间隙的共振频率将往低频移动，当第三个浮体的浸没水深达到一定数值后，间隙将由单峰值状态变为双峰值状态，且两个共振频率在单峰值对应的共振频率两侧。其中系统前面加入第三浮体时，间隙若由单峰值变为双峰值，双峰值现象没有在系统后面加入第三浮体所引起的双峰值现象明显。

3 结 论

本文首先对波浪和三浮体作用进行了数值模拟和实验验证，随后探讨了任意浮体浸没水深对间隙共振和浮体受力的影响，最后分析了双浮体系统中第三浮体的加入方式对共振的影响，得出以下结论：① 对于相邻等浸没水深三浮体系统，低频波(长波)的作用下，水平受力C>B>A；在高频波下(短波)，水平受力A>B>C。在大多数来波频率下，竖直受力A>B>C。对于水平和竖直总受力，在中低频率下，总受力由三物体共同决定。在高频率下，总受力由A物体决定。② 水平和竖直受力的共振频率与总体浸没水深直接相关。物体水平和竖直受力大小与波浪频率，浸没水深和摆放位置均有关系。所有物体水平受力大小与自身浸没水深总体成正相关，而竖直受力大小与自身浸没水深的关系对不同物体而言不同。③ 在双浮体系统前面或者后面加入第三浮体时，间隙的共振频率将往低频移动，当第三个浮体的浸没水深达到一定数值后，间隙将由单峰值状态变为双峰值状态，且两个共振频率在单峰值对应的共振频率两侧。其中后面加入第三浮体比前面加入第三浮体所引起的第二峰值明显。

由于本文主要分析了不同条件下的波浪与多浮体系统作用的动力学结果， 在下一步的工作中，作者将进一步研究波浪作用下多浮体系统的间隙产生共振现象的内在机理，并分析不同的浮体系统参数对这种内在机理的影响。

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Numerical simulation of resonance between adjacent multi-floating bodies and waves

CHENXuebin,ZHANJiemin,SUWei

(Department of Applied Mechanics and Engineering, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275,China)

Based on the secondary development in Fluent, the study built a 2D numerical wave tank by the method of momentum source. Firstly, the established wave tank was used to simulate the resonance phenomenon between the waves and multi-floating bodies, and the numerical results were in good agreement with the experimental data. The results showed that the horizontal force acting on the last body was the largest. Subsequently, the influences of draft on resonance phenomenon were analyzed, indicating that the horizontal force acting on each body was, on the whole, correlated with its draft while the relation between vertical force and draft varied with the body. In the end, the influence of the addition of third body on resonance phenomenon in the gap was discussed, showing that resonance frequency would move to lower and the second resonance frequency would probably appear when the third body was added into the floating system.

resonance; floating bodies; wave generation; draft

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.01.010

2014-12-20

国家海洋公益性行业科研专项基金资助项目(201005002)

陈学彬(1989年生),男；研究方向：流固耦合；通讯作者：苏炜;E-mail:suwei@mail.sysu.edu.cn

TV

A

0529-6579(2016)01-0054-09