许欢

摘 要：有限差分法是地球物理波长正演中常用的一种方法，该方法以差分方程的形式来代替微分方程，从而使整个计算过程变成差分方程的代数方程组的计算，以此实现微分积分方程的数值求解。区域离散化，近似替代，逼近求解是有限差分的主要方法，通过该方法能求得波场正演的数值解。

关键词：有限差分；离散；近似；波场

一、引言

地震波是指从震源产生向四外辐射的弹性波。地震发生时，震源区的介质发生急速的破裂和运动，这种扰动构成一个波源。由于地球介质的连续性，这种波动就向地球内部及表层各处传播开去，形成了连续介质中的弹性波。波场、地震波场，指有地震波传播的空间。在这个空间的每一点上，一定时刻都有一定的波前通过，波的能量也按—定的规律传播。当我们按照顺时间轴方向研究波场的状态问题的时候，如果研究的就是波场的正演问题，进行的计算机数值模拟，就是正演模拟。地震波正演模拟，实际上，是在给出地球模型，包括整个地球或者地球局部地质结构。在假定地球为复杂弹性介质的前提下，用相应的地球物理学的某种场方程，去求解地表或地下相应的某种场的响应函数，就地震波场而言，就是震源。

二、有限差分法

地球物理学科中的地震勘探，运用计算机数值模拟波动方程的正反演情况，就是把复杂地质结构中的弹性地震波，用数学物理方程的双曲方程的波动方程表达出来，之后采用数学方法进行处理。地震波波长数值模拟的研究，可以直接应用在地震资料的采集、处理和解释工作中。其研究的方向主要是波动方程的数学表达式、数值求解方法和计算机算法设计。为了得到更优化的数值求解方法，该学科还会研究网格剖分的离散化方法和傅立叶有限差分等转化方法。双曲型偏微分方程（Hyperbolic partial differential equations）：是描述振动或波动现象的偏微分方程。它的一个典型例子，是波动方程和n=1时的波动方程。可用来描述弦的微小横振动，称为弦振动方程。这是最早得到系统研究的一个偏微分方程。声波方程是波动方程，波动方程是双曲型偏微分方程。

有限差分法的第一步是对求解域进行网格剖分。网格剖分的方式，会直接影响到差分格式的形式，和计算的精确度。是有限差分法的最重要步骤之一。根据不同的网格剖分方法，还可以得到不同的有限差分方法，因为它们本身要求的网格剖分方式、差分格式等，都不同。现在主流的网格剖分方法主要是正交网格法和交错网格法。交错网格是相对于正交网格而言的，主要目的是通过寻找一种新的网格剖分方法提高计算的精确度。一般有限差分教材上使用的都是正交网格的剖分方式。所谓交错网格就是将u、v及压力p（以及其他标量和物性参数）分别存储于三套不同网格，此时相邻两节点的压力构成了动量方程中的压力梯度，这就很好地解决了采用非交错网格时遇到的问题，因而，在二维直角坐标系下交错网格布局得到广泛的应用。

三、有限差分原理

有限差分法的基本思想，是把連续的微分方程定值解的求解区域，用有限个节点来离散的表示。每个节点的参数，都是原方程的参数或者相关参数。其求解过程，就是在整个求解区域上，进行网格剖分后的递推求解。把连续的求解区域用网格剖分成有限个节点之后，原来的连续函数再由泰勒展式展开，就可以得到原微分方程的差分方程。把求解区域离散化，得到原微分方程的近似解，再用插值等方法近似的得到原连续方程的解。这是一种近似化的求解方法。在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：

（1）区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；

（2）近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；

（3）逼近求解。换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。

当得到差分方程的解之后，这个解就是我们所求的原微分方程的数值解。这个数值解，是原微分方程的连续解的逼近。我们可以通过插值等拟合方法，去得到原微分方程的更逼近的解。

网格剖分的方法，有：均匀剖分和不均匀剖分。均匀网格剖分容易编程，但是不均匀网格剖分易于表达不均匀介质。有限差分法还有几个重要概念，是相容性、收敛性和稳定性。相容性，是指差分方程与原方程接近的性质。可以数学证明，当网格剖分至无穷小时，差分方程与原微分方程的接近程度满足给定误差。只有相容的差分方程才有意义，否则与原方程不具有等价性，无法使用。收敛性，是指当空间步长x和时间步长t趋近于0时，有限差分方程的解也无线逼近于原方程的连续解的性质。收敛性是对一个差分方程能否用来表达一个微分方程离散形式的指标。不收敛的差分方程不能用来表达给定的微分方程，因为它无法得到该微分方程的真解。收敛性和相容性有区别而且缺一不可。相容的差分方程如果不收敛于给定的微分方程，则不能用于作为其离散形式。稳定性，是指差分方程在数值求解的过程中，对误差传递的控制能力。稳定性有严格的数学证明。其原理，是微分方程有限差分法数值解，是按照时间步长和空间步长逐层递进的，稳定性原理就是从这个过程的角度来设计算法，达到对误差的控制的。不稳定的差分方程，不具有可用性。

四、结论

有限差分数值法作为地震波长正演的一种重要方法正在被广泛使用。微分方程有限差分数值求解法，就是把原微分方程在求解区域上通过网格剖分的离散化方式，通过对时间间隔和空间间隔的逐层递推计算，得到原微分方程的连续解的近似解，这种解就是数值解，其中，在离散网格节点上得到差分格式的数学方法是用泰勒展开式求得该节点处的差分格式。差分方程有其必须满足的性态，包括：网格剖分方法、相容性、稳定性和收敛性等。

参考文献：

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（作者单位：成都理工大学地球物理学院）