张丽娟

摘 要 近期研读文[1]时，文[1]中根据等号成立的条件对代数式配凑和调整并利用均值不等式证明，感受颇深，文[1]作者最终利用柯西不等式完成证明，这说明文[1]所谈及思路具有局限性。事实上，文[1]所有例子和猜想均可由柯西不等式获得简证，柯西不等式是新课程（选修4-5人教社A版）不等式选讲中的重点，也是高考和竞赛的热点。

关键词 柯西（Cauchy） 不等式

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）18-0062-01

柯西（Cauchy）不等式：设a1，a2，…，an，b1，b2…，bn是实数，则（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…bn2）≥（a1b1+a2b2+…anbn）2当且仅当bi=0（i=1，2…，n）或存在一个数k，使得ai+kbi（i=1，2，…n）时，等号成立【详见普通高中课程标准试验教科书数学《不等式选讲》（选修4-5P39）】。我们不难得到它的一个推论：设xi∈R+，yi∈R，则++…≥，当且仅当yi=0（i=1，2，…，n）或存在一个数k，使得xi=kyi（i=1，2，…n）时，等号成立。

证明：在柯西不等式中，令ai=，bi=得，（++…）（x1+x2+…+xn）≥（y+y+…yn）2即推论成立。

我发现文[1]按柯西不等式推论证明则更简洁明快，有事半功倍之效，为了方便说明以下均以文[1]中例题为例。

例1 若a，b∈R+，证明：+≥a+b.

证明：由柯西不等式的推论得+≥=a+b.当且仅当a=kb，且b=ka即a=b时等号成立，按此推论不难得到文[1]中的一般猜想简证，

文[1]更一般的猜想：若x1，x2…，xn∈R+，且x1+x2+…+xn=a

則

证明：由柯西不等式的推论得，左边当且仅当xi-a=kxi（i=1，2，…，n）即x1=x2=…=xn=时等号成立。

【点评】事实上，此题还可以进一步推广为：若则

例2 已知正数a，b满足a+b=1，求证：（a+2）2+（b+2）2≥.

证明：由柯西不等式的推论得，（a+2）2+（b+2）2≥+≥=，当且仅当a+2=k且b+2=k，即a=b=时等号成立。

【点评】上述证法中并未用到“a，b是正数”这一条件，故文[1]例2条件可改为“实数a，b”

例3设a，b，c>0且abc=1，求证++≥.

证明：∵abc=1，∴（abc）=1，由柯西不等式的推论得，左边=++=++≥=≥=当且仅当a（b+c）=kbc，b（a+c）=kac，c（a+b）=kab，且bc=ac=ab即a=b=c=1时等号成立.

【点评】事实上，此题还可以进一步推广为：设a，bc>0且abc=S，n∈N*则

可见，柯西不等式的推论在不等式的证明中有不可低估的作用，可最大限度减缩思维量且更具可操作性。

参考文献：

[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书——数学《不等式选讲》（选修4-5P39）[M].北京：人民教育出版社，1990.

[2]孙明辉.猜想“等号成立条件”调整构造不等式证明[J].数学教学，2006，（08）.