刘小妹 李培超 潘颖

摘要：工程力学静力学中的力，运动学中的速度和加速度等都是矢量，在求解时运用较多的是矢量在轴上投影的代数量；材料力学中拉压、扭转、弯曲的轴力、扭矩和弯矩等内力也都是代数量。投影的代数量与内力的代数量正负号的规定有所不同，在学习的过程中容易混淆。本文介绍了两种类型代数量正负号的确定方法，为工程力学的学习打下良好的基础。

关键词：工程力学；矢量；代数量；正负号

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）30-0210-02

工程力学是我校近机类如机械、汽车、轨道和航空等工科专业开设的一门重要的专业基础课。分为工程力学一也就是理论力学[1]内容以及工程力学二材料力学[2]内容，分在两个学期教学。在理论力学中一些重要的参数诸如力、速度以及加速度等都是矢量，求解时均列代数方程，是关于这些矢量在轴上投影的代数量。在材料力学中，其中重要的参数有三种内力：轴力、扭矩和弯矩以及两种应力：正应力和剪应力等也都是代数量。但是，矢量投影的代数量正负号以及内力、应力的代数量正负号的规定是完全不同的，掌握它们的方法，是正确求解题目的前提。据此，本文对工程力学中参数的正负号问题进行探讨，对理论力学和材料力学的相关问题进行比较，为学生的学习建立夯实的基础。

一、理论力学中的参数

在理论力学教学中，静力学中的力、空间力矩以及空间力偶，运动学中的速度以及加速度均为矢量，为了方便求解，都是求矢量在轴上的投影，即代数量。如图1所示，力在x轴上的投影X=Fcosα，显然当夹角小于九十度，投影为正；反之为负。力矩以及力偶在平面问题中，为代数量，规定了逆时针为正；相反顺时针为负。其他矢量的投影的正负可以依次类推。由此可知：矢量在轴上投影的正负取决与矢量的方向以及建立的坐标轴的方向的夹角。这样我们在静力学中列力在坐标轴上的投影方程、运动学中速度和加速度合成的投影的表达式就会迎刃而解。

二、材料力学中的力

内力图的绘制是材料力学中非常重要的基本知识，与理论力学不同，材料力学中内力不再是矢量，不要求标注矢量符号，它们为代数量，有正有负。确定内力的正负号是绘制内力图的根本问题，与矢量在坐标轴上的投影的正负号有所不同。矢量的投影，一般向上的方向为正，则向下的方向为负；逆时针方向为正，则顺时针方向为负。而材料力学中内力正负号的规定比较特殊，与大家所熟知的思维有区别。通过以往的教学经验，学生在学习中很容易混淆，在教学时应予以重视。当学生一开始接触这门课程，就要着重强调该知识点，把问题讲清楚透彻，改变他们传统的思维方式，为学生学习扫除障碍。材料力学是研究构件在外力作用下变形、破坏或失效的规律，因此依据变形的效果来规定内力的正负号。只要内力产生的变形效果一致，则它们的正负号相同，这是材料力学所特有的。比如说拉伸，规定凡是产生拉伸变形的内力为正、相反产生压缩变形的内力为负。当然内力是外力引起的，是一侧所有外力的代数和确定，外力的正负与内力的正负完全一致。如图2所示，虽然杆件在两端承受力P方向相反，扭矩m■、m■在轴的两端旋转方向相反，但是它们对杆件的变形效果是一致的，因此它们的正负号是相同的，教材上均假设为正，与此相反的情况，两端的力或力矩均为负。弯曲中假设剪力F■左侧向上右侧向下和弯矩M左侧顺时针，右侧逆时针，产生的变形来规定为正。但是在理论力学中，这些两端的力或力矩的投影的正负是相反的，学生在学习过程中容易按照原来固有的思维方式来考虑就会出错。

同样在材料力学中由内力产生的应力也是代数量，与内力类似。如图3所示，单元体左右、上下面的正应力和剪应力虽然指向或方向是相反的，但是按照变形的效果规定拉伸的正应力都是为正的，而顺时针的剪应力为正，逆时针的剪应力为负。

三、结语

理论力学中矢量在坐标轴上的投影其正负号与数学上的规定是一致的，只要矢量的方向或力矩的旋转方向相反，理所当然，投影的正负号也相反，学习时比较简单。而到材料力学中，内力和应力的正负号规定比较特殊，与常规的思维不同，虽然在杆的两端力和力矩的方向或旋转方向相反，但是只要它们所产生的变形效果是一致的，那么它们同时为正或是同时为负。应力类似，虽然在单元体相对的两个面上方向相反，也同为正或同为负。只有有了清晰的概念和正确的思维方法，才能正确地求解问题。

参考文献：

[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学[M].北京：高等教育出版社，2002

[2]刘鸿文.材料力学[M].北京：高等教育出版社，1992.