章敏

【摘 要】類比思想在初中数学教学中应用广泛，类比的魅力在于它可以使数学学习更容易、更生动、更形象，有利于学生自主探索与创新思维的培养。本文主要列举了初一教材中关于类比思想的应用，阐述了类比在初中学习的重要地位以及通过类比更加容易的學习新的知识。通过概念的类比，理解概念的本质；通过知识结构的类比，构建起知识的网络；通过思维的类比，突破学生学习思维难点，培养学生的创新意识。锻炼学生解决问题的能力，提高初中数学学习的有效性。本文的最后也点出了该思想方法容易进入的误区，体现本学科的严谨。

【关键词】类比 有理数 整式 立方根 不等式 应用 有效性

1 引言

著名教育家玻利亚曾形象地说过：“类比是一个伟大的领路人。”在初中数学学习中，类比思想是理解概念，锻炼思维，构建知识网络的重要手段。类比法是初中重要的教学方法，数学中的许多概念、定理、法则等是通过类比得到的，在数学教学中，恰当地应用新旧知识的类比，不仅有利于理解、掌握新知识，还能使旧知识得到巩固，同时拓宽视野，突出问题的本质，更有利于培养学生的创造性思维，提高解决问题的能力。在解题中寻找问题的线索，往往也借助于类比方法，从而达到启发思路的目的。

2 数学类比的定义

数学上的类比是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类未知的对象上去的一种合情推理。它能够解决一些看似复杂困难的问题。从迁移过程看，有些类比十分明显、直接，比较简单，而有些类比需建立在抽象分析的基础上才能实现。

类比的作用机制可以用如下的框图来表示：

类比包括目标问题和原问题两个部分。目标问题是需要解决的问题，原问题是已经解决的，并且是已经掌握的、比较常见、比较熟悉、比较形象具体、比较容易明白的问题。原问题与目标问题之间是平行关系，类比原问题解决目标问题，通过类比学会目标问题。下面根据自己的教学实践，谈谈在初一教材中几点运用类比的例子。

3 类比在初一教材中的应用

3.1 有理数加减混合运算

有理数的加法是有理数运算的开始，是进一步学习有理数减法的基础，也是今后学习实数运算，代数运算，解方程以及函数知识的基础，是初中数学“数与代数”领域中必须掌握的基础知识和技能，学生能否接受和形成在有理数范围内进行的各种运算的思维方式，本节课的学习尤为重要，因此我类比了正负数的概念来引入，通过类比使学生更加容易接受新知识。具体方法如下：

例1：计算：-7+3-2-4。

分析：先将负数放在一起，正数放在一起。

得：-7-2-4+3

然后类比生活中水位变化的实例，同时展示电脑课件。我们把水位上升1米记为+1，水 位下降1米记为-1。问：

师：-7表示

生：水位下降了7米。

师：-2表示

生：水位下降了2米。

师：-4表示

生：水位下降了4米。

师：+3表示

生：水位上升了3米。

师：-7-2-4+3表示水位先下降了 米，又上升了

米，那么水位一共 了 米

在这里我类比了“有理数的乘法”一开始引入的水位变化的实例。水位的变化在生活中很常见，学生理解、想象起来不难，再借助电脑课件直观的动画演示，生动形象地反应出水位变化的情况。这样既加深了学生的印象，有助于学生理解，又能提高学生学习的动力和唤起学生强烈的求知欲。通过这样的尝试，学生反馈上来的情况就好得太多，达到了预期的教学目标。

3.2 有理数乘法法则的探究

有理数的乘法运算不是一类新的运算，只是参与运算的数在原来有理数的基础上添加了负数，所以通过类比前面非负数的乘法得出负数乘法的相关结论。

例2：

通过对上式进行类比得到下面的式子

通过上一组式子类比得到如下式子

上述通过两次类比得到了有理数乘法法则，并归纳出两数相乘符号确定的方法，为后面有理数的除法奠定了基础。其实有理数的除法同样可以类比加减法之间的转化，从而想到变除为乘。

3.3 整式中的类比

在整式这一章有很多用到了类比这一重要的数学思想。例如：确定多项式的系数与次数，通过类比有理数的加减法得到整式的加减法，通过类比有理数去括号法则得到整式去括号的法则。

例3：3+2=5 类比 3a+2a=5a 类比 3a+2a+3b+2b=5a+5b

3.4 合并同类项中的类比

在“合并同类项”一课中创设了如下情景：

（1）实物归类

教师把学习用品、玩具、零食（形状有圆、方、三角形）混在一起，让学生按照自己的标准进行分类，要求学生回答以下问题：①你的分类的标准是什么？②假如分类标准一样，则分类是否唯一？③你有几种分类方法？

（2）多项式中项的归类

观察多项式-2x+8y–4z+x–y回答下列问题：①你想把哪些项归为一类？②你是根据什么特征来分类的？那么3a2b–4ab2–3+5a2b+2ab2+2ab–6ab+8

（学生分小组进行讨论，并由代表集中发言，其他组进行补充完善）

实物归类的主要目的是让学生感受生活中存在分类现象，并且通过实物分类，让学生明确分类的标准与方法，事实上学生通过准确的实物分类理解了分类的意义与标准。再出示多项式，让学生进行分类，学生一定会与实物分类进行类比，也会有不同的分类方法，比如对于-2x+8y–4z+x–y，有的学生利用系数的正负来进行分类，而同类项只是分类中的一种特殊情况。

数学学习要充分利用学生所熟悉的生活背景，把数学知识的学习融入到学生的生活中，通过“由表及里”类比，获得数学本质和模型。象上面生活中的分类方法与标准是原问题，是学生所熟悉的、了解的，由实物分类类比到数学分类，学生觉得数学并不是那样的神秘与抽象，离学生的生活是那样接近，把日常生活中普实的方法移植到比较抽象的数学中，从而更容易、更切实地理解数学思维，提高了学生学习的兴趣，降低了数学学习的难度，加强了数学与实际的联系。

3.5 立方根中的类比

著名的学习理论家奥苏贝尔指出：要进行有意义的学习必须知道学生已经知道了什么。在教学人教版七年级下册第六章实数立方根时，考虑到“平方根”与“立方根”两节在内容与知识展开顺序上是平行的，内容主要是研究立方根的概念和求法，知识展开顺序是先从具体的计算出发类比给出立方根的概念，然后研究立方根的特征。而在本课中，平方根的概念、表示方法等都是学生原有的知识。为了建立立方根的概念，充分“借用”平方根的有关概念的产生过程进行类比，新旧知识通过类比联系，既有利于复习巩固平方根，又有利于立方根概念的理解和掌握。具体教学过程如下：

先列表复习平方根的有关知识，然后魔方展示：抽象出立方体。

（1）若魔方的体积是8cm3，则棱长是多少cm？为什么？

∵ 23=8，∴ 棱长是2cm。（为将要学习的立方根与立方运算是互逆运算作铺垫）

（2）若魔方的体积是80cm3，则棱长是多少cm？为什么？a3=80

（3）這里的2和a我们能否把它取个名？ 生：立方根。

（4）你为什么取这个名呢？ 生：根据平方根的定义猜想得到的。

（5）那么什么是立方根呢？生：……

（6）一个数a的平方根你怎样表示？生：

（7）一个数a的立方根你又想怎样去表示呢？生1： 生2：纠错

生3：改正

教师通过问题串，把立方根的定义、表示方法与平方根定义、表示方法联系在一起，采用类比的数学思想，自主学习立方根的定义与表示方法，学得自然、轻松。数学概念是数学知识的基础。学生对数学概念的形成过程、同化过程，就决定了对数学概念掌握的程度。只有理解数学概念、剖析概念，抓住概念的本质，才能举一反三，触类旁通。

3.6 解一元一次不等式与解一元一次方程类比

在讲解“一元一次不等式”时，学生由于刚刚接触不等式，对不等式本来就不是很熟悉，对不等式的解法也就感到陌生。如果照着书上的例题直接讲解，学生可能会感到有点模糊，不那么得心应手，不知道为什么要这样来解题，就会照着按部就班的做题，以至于没有掌握解题的方法，思维会有点混乱。为了让学生一开始就能从根本上弄清楚一元一次不等式的解法，能明白每一步的算理，真正地掌握一种学习的方法，在讲授这节内容时，我类比了解一元一次方程的方法，这样的讲解学生接受起来就容易多了。

例4：解一元一次方程：2x+6=3-x

解：移项得：2x+x=3-6

合并同类项得：3x=-3

系数化为1得：x=-1

解一元一次不等式：2x+6<3-x

解：移项得：2x+x<3-6

合并同类项得：3x<-3

两边都除以3得：x<-1

学生只要注意最后一步：系数化为1时，不等式的两边如果都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向改变即可。通过这种类比，学生掌握起来就容易得多了。

4 类比的效果

4.1 类比方法是培养学生创新意识的重要途径

运用数学类比思维可以把陌生的对象和熟悉的对象进行对比，把未知的东西和已知的东西相对比，特别是在资料少，还不足以进行归纳推理和演绎思维的情况下，类比可以启发思路，提供线索。类比法具有两个特征。一是适用范围广，可以跨越各个种类进行不同类事物的类比，既可以比较本质的属性，又可以比较非本质的特征。二是具有较强的探索性和预测性，可见，在数学教学中，根据教材的特点，运用类比方法，引导学生去探索和发现问题，是培养学生创新意识的有效途径。

4.2 深入研究教材 挖掘类比素材

教材中的概念、公式和规律都蕴涵着丰富的数学思想和方法。作为数学教师，必须深入研究教材，挖掘它的思想性，并在教学中给予充分利用。利用类比的方法是数学教学中一种行之有效的教学方法。在数学教学中借助于类比方法，有利于启发学生思路，使学生顺利而全面地形成数学概念和掌握数学规律、方法。在教学中，用类比的方法将概念中的本质属性用最明确的形式表达出来，使人一目了然。

5 结论

类比是一种从特殊到特殊的推理。它的前提和结论是或然的，是一种不严格的推理。因此推理的不严格性是它的特点之一。这个特点既是它的所长也是它的所短。因为在科学研究和生产实践活动中需要严格的推理，没有严格的推理科学的理论大厦就不可能建立正常严肃的生活秩序就不会建立。演绎推理的严格性正好与类比推理的不严格性相互补充共同促进科学的发展。从亚里士多德的完备的三段论到现代数理逻辑的发展和完善演绎推理成为一种严密的强有力的推理和证明工具成为思维活动中的一个重要的组成部分。但是科学要进一步发展要解决科学研究中出现的矛盾不断进行理论扩充严格的推理只能使科学被限制在一定的框架之内循规蹈距地前进。类比推理的不严格性可以诱发人的创造性思考它可以触类旁通启发思路。正如康德所指出的那样每当理智缺乏可靠论证思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。

反思教学过程，进行类比教学时，不但要多找对象的相同点，而且应找本质的相同点，既要注意问题的共性，又要注意问题的个性。对学生在类比过程产生的想法，能确定正误的要及时评价，不能确定的要给予方法的指导，要求学生重新去研究。同时也要善待错误、用好错误，要反思错误、变错为宝，提高思维的深刻性。

为培养高素质的人才，除了使学生能“学会”之外，更重要的还应当使学生“会学”，掌握科学的学习方法，类比就是这样一种学生能掌握的重要的学习与思維的方法。类比思维方法的运用能培养学生的自主学习能力，有利于创造性思维能力的培养，有利于学习效率的提高。

参考文献

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