张昆++张乃达

【摘要】利用数学教育资源，培养学生创新能力，逻辑思维只能起检验与确证作用，创新能力培养目标的生命所系与关键所在是培养学生的直觉思维能力.稍微困难一点的数学问题的解决，逻辑思维对探究活动过程没有多大帮助，直觉思维却起着支点性的作用.因为，支持逻辑思维的关键环节的取得总是在探究问题所提供的外在信息的过程中，获得关键性暗示，进而检验暗示，如果获得成功，说明暗示是正确的，否则，重新生成暗示，由此构成暗示-检验-再暗示-再检验的过程，而这种暗示的取得，正是直觉思维的用武之地，也是学生创造力的源泉所在.

【关键词】数学直觉思维；数学教学设计；数学课程资源

《现代汉语词典》第五版，在第1748页，将“直觉”界定为“未经充分逻辑推理的感性认识”.接着，对此界定加以解释，“直觉是以已经获得的知识和累积的经验为依据的，而不是像唯心主义者所说的那样，是不依靠实践、不依靠意识的逻辑活动的一种天赋认识能力”.同时，在第1294页，将“思维”界定为“在表象、概念的基础上进行分析、综合、判断、推理等认识活动的过程”.并对此进一步解释，“思维是人类特有的一种精神活动，是从社会实践中产生的”.由此，我们可以将“直觉思维”界定为，不受固定的逻辑规则的约束，直接领悟事物本质认识活动过程的一种思维形式.

1直觉思维的特点与教学价值

为了研究通过数学教学的手段，培养学生的直觉思维能力，直觉思维具有模糊性、整体性、突发性、创造性与超前性等特点[1].直觉思维的这些特点决定了它的教学价值，威廉·卡尔文说，“智力就是你不知怎么办时动用的东西，但是，富有智慧则有更多的涵义，这是一种创造性能力，凭借这种能力，会迅捷地想出新主意，各种答案在你的大脑中接踵而至”[2].这种新主意（表现为暗示的出现）不可能是经过严格的逻辑论证的，它主要是由直觉思维所提供的，有待于经由实践的或逻辑的检验，因此，依据这种观点，智力或者智慧主要是从直觉思维中生成的，正如爱因斯坦所言，“科学发现并没有逻辑的道路，只有通过那种以对经验的共鸣的理解为依据的直觉”[3].其实，科学与数学活动中的创新、发现也都是符合这条原则的.

直觉思维恰恰可以通过对问题信息的整体把握，猜测出所需要的合理环节及其联接中介的暗示来，这正是联想能力与想象力发挥作用的地方，因此，通过它可以培养学生的联想能力与想象力，也是人的整体精神活动的创造性源泉所在.实际上，创造过程是有意识地与无意识地交织进行着活动，它更多地是从材料中获得暗示，形成对其组成的结构的猜想，于是，形式逻辑一点也不能参与进来，真理不是通过有目的的推理，而是凭着直觉思维的形式感觉到的，直觉使用自己现成的判断，不带有任何论证的形式进入了具有创造性的意识范围，当然，最后的检验是逻辑思维活动的用武之地.那么，如何利用数学解题教学的资源培养学生的直觉思维能力呢？

2基于数学解题教学设计培养学生直觉思维能力的典型课例

数学教学设计是一项结构系统性的整体工程，构成它的要素所组成的技术结构环节集中地体现于互相关联的三个侧面：理解要传授的具体数学知识所呈现的环节及其联结中介的组成序列（简称“教材分析”）；把握学生发生数学认识（针对“教材分析”获得的知识环节及其联接中介的结果）的心理活动环节及其过渡性中介的组成序列（简称“学情分析”）；通过创造性工作找到贯通这两方面环节序列之间的切合点（可以沟通的元素）、实现两者之间的关联（简称“关联分析”）.数学教学设计相对稳定的技术结构组成环节，可以简化地表达成如框架图1所示[4].我们通过一个数学解题教学设计的例子，说明培养学生直觉思维能力的技术结构环节的手段.

2.1教材分析

教材分析就是将知识打开.王策三先生说，“知识好比一个百宝箱，里面藏了大量的珍宝；不仅内含有关于客观事物的特性与规律，而且内含有人类主观能力、思想、情感、价值观等精神力量、品质与态度.因为知识是人类历史实践、认识活动的结果凝结在里面的，因而知识更内含有知识原始获得的实践认识活动方式和过程”[5].对于解题教学而言，打开知识就是要求教师尽可能地穷尽问题的解法，据此，才有可能充分认识数学知识当中隐藏的教学价值.

分析一将②代入①，可知Sn=∑nk=1loga1+13k-2，于是，要比较③、④两个数的大小，一般情况我们想到可否把③式转化为已知运算的结果，得到一个具体的数，然后，将这个数与④进行大小比较.在学生探究问题解决的方法库中，应对这种情况，已经具有了观念形态的“裂项相消”方法及其应用经验，我们可以据此启发学生运用“裂项相消”法加以试探.由于loga1+1bn=loga3n-13n-2=loga3n-1-loga3n-2⑤，于是，当a>1时，an=∑nk=1loga1+13k-2单调递减，从而可得loga3n-1-loga3n-2>loga3n-loga3n-1>loga3n+1-loga3n⑥，由⑥，知3[loga3n-1-loga3n-2]>[loga3n-1-loga3n-2]+[loga3n-loga3n-1]+[loga3n+1-loga3n]⑦=loga3n+1-loga3n-2=logabn+1-logabn，于是3∑nk=1loga1+1bn>[logab2-logab1]+[logab3-logab2]+…+[logabn-logabn-1]+[logabn+1-logabn]=logabn+1；同理，当0

分析二要比较③、④两个数的大小，③式是一个数列的前n项和，④式只是一个具体的数，前者复杂，后者简单，但是，如果考虑到，“<”、“=”、“>”等所连接的两边就内含了形式上的“对称美”的要素，从这种“对称美”的审美意向出发，两边应该具有对等的形式，不失一般性，我们以“小于”为例，若ak1时，3Sn>logabn+1；同理，当0

分析三由于an=loga1+1bn=loga1+13n-2⑧，设an′=loga1+13n-1⑨，an″=loga1+13n⑩，且{an′}与{an″}的前n项和分别为Sn′与Sn″.⑴当a>1时，有an>an′>an″，于是Sn>Sn′>Sn″，知3Sn>Sn+Sn′+Sn″=∑nk=1ak+ak′+ak″=∑nk=1loga3k-13k-2+loga3k3k-1+loga3k+13k=∑nk=1loga3k+13k-2=loga41·74·107·…·3n+13n-2=loga3n+1=logabn+1，知3Sn>logabn+1；⑵当0

分析四数学归纳法，高考阅卷参考答案提供的方法.数学归纳法除了固定的程序与冗长的计算之外，创造性是非常地的，这里略而不记.

2.2学情分析

学情分析除了理解学生掌握数学知识的一般心理活动过程以外，最重要的是针对掌握具体数学知识所需要的心理环节及其过渡性中介，设计具体的教学目标，从而选择学生掌握知识心理活动的教学路向.在本例的四种典型性解法中，分析一解决问题的“裂项相消法”在学生的方法库中已经具备了，并且经由多次运用，因此，只是再次强化其应用而已，它内含的教学价值相对于学生的数学现实而言，已经不太高了.

分析二与分析三其实都是所谓的“分项放缩法”[6]的应用，在笔者解题教学的整体性安排中，曾经使用了更具针对性的知识促进学生萌生了这种方法，因此，对于学生而言，在他们的思维结构中，分析二与分析三的处境不同.与分析一一样，分析二在学生的数学现实中已经具有了发现与应用的经验了，从而，它的教学价值也比不上也就不是十分重要了.

因此，对于笔者的教学设计而言，就不应该选择分析二与分析三的方法，而应该选择分析三的这种解法在课堂上实施教学（其他教师可以依据自己的高考解题教学的整体安排作出具体选择，这并不是僵死不变的，而是依据具体学生、具体教学内容配置而定），分析三从形式上看是一种全新的解题方法，学生到目前为止，还没有现成的驾驭它的数学观念，因此，这是启发学生创新体验的优质教育资源.

从分析三的整个解答过程来看，这种从⑧萌生成⑨、⑩中的暗示或观念的产生，其效果是解题者直抵问题信息的一种结构本质，但是，得到它其实是没有什么道理的，不是分析思维所能控制的，故而，这正是直觉思维的典型体现，因此，就数学解题教学设计而言，这正是培养学生直觉思维的课程资源，而且这种资源是极其匮乏的，因此，它蕴藏着巨大的培养直觉思维的教学价值.因为，只有内含直觉思维教育价值的资源才能培养学生的直觉思维能力，这是不言自明的.那么，如何借助于这道习题的如此思路通过教学设计的关联分析实现培养学生的直觉思维的教学目的呢？

2.3关联分析

由上述的学情分析，知如何启发学生从表达式⑧设出表达式⑨、⑩，构成了这道例题关联分析的重中之重，否则教师就极有可能将解题活动的现成的发现结果奉送于学生，造成教学资源的巨大损失.然而，由于直觉思维的模糊性与突发性的特点，这种暗示与观念的得来，本身就说不清楚.因此，设计出相对理想的教学情境，需要满足两个方面的主要条件：其一，这种解题方法确实是出自于教师自己的心灵活动，即这种想法是教师自己亲自构想出来的，它最为重要，教师如果没有那种直觉思维的体验，那么就很难在课堂上建立促进学生进行直觉思维活动的场域，使学生产生如此相似的体验[7]，这不言自明；其二，精心地把握学生掌握知识的心理环节及其过渡性中介的构建过程，在学生心理环节的启、承、转、合的过程中，最为关键的又是“启”，思维动力的起点与生成直觉的内驱力的实现，是决定可否达成培养学生直觉思维的关键因素.

关于这个例题，下面的教学设计“关联分析”活动过程是2006年，笔者在常州国际学校的一节江苏省省级高三复习数学教学展示课的片段实录.下面括号里的注解，是现场听课的著名特级教师（1990年）张乃达先生提供的，本文写作时，笔者在部分地方稍作技术性处理（其中的省略号是表示学生思维活动的中断之处）：

师：由问题的结论，我们发现，③式与④式肯定是存在一种不等的关系.那么，与其对立的命题是，③式与④式可以变得相等吗（这种生成问题情境的方式，乃是模拟学生的原始想法，其实是一种直觉信念，这种信念对启动解题的思维活动往往特别重要，这是启动“问题的一般性解决”活动）？

生1：不可能.不等的数量，怎么可能变成相等呢（对教师所提出的问题，大多数学生可能都出现了如此想法，从而否定了上面教师提供的直觉信念.但是与生1一样，这种直觉的否定也过于轻易了，这种暗示与观念没有得到检验，是学生思维活动的一种较大损失，教学中鼓励学生听从自己的心灵呼唤，对一些暗示或观念进行估计与检验，往往具有很重要的价值，这应该是真正的培养直觉思维的萌芽）？

生2：可以.我们将③式的数量值放大或缩小就应该能够得到④式，从理论上说是能够达到这种目的的（学生对教师的直觉的暗示或观念的出现与生成的一种评估，生2选择了这种暗示，它是转入检验行动的动力与前提.获得从“问题的一般性解决”转化为“问题的功能性解决”的一种途径）.

师：我同意生2的想法，“不等”与“相等”这两者之间是相对的，为了获得不等关系的结论，我们可以通过相等的途径来达到（这是一种辩证思维，发展它对培养学生的直觉思维的成果，从而转化为检验的行动，具有很好的价值，生2的想法想法是对教师的直觉信念的坚持与支持）.

师：那么，如何放缩才能将③式转化为④式呢（转入对暗示的检验途径程序的构想，启动构造检验的现实方法，从而促进学生萌生从“问题的功能性解决”转化为“问题的具体解决”的指令）？

生3：我们许多同学都想方设法对③式中的Sn进行放缩，但不能转化成④式，……因为，③式太复杂而④式太简单（在“问题的功能性解决”中，逻辑活动出现了中断，此时，正是需要直觉思维的帮助，也正是产生直觉思维的地方，否则，“问题的功能性解决”就很难转化为“问题的具体解决”方式，最终问题不可能解决.生3通过比较表达式③与表达式④，生成了新的暗示，这种暗示显得有点不妙，有可能放弃地将③式转化为④式的具体方法，退回到“问题的功能性解决”环节.这对教师的教学设计的技艺或技术手段提出了极高的要求，教师的教学能够取得转机吗？），……

师：如果将③式写成∑nk=1loga1+13k-2+∑nk=1loga1+13k-2+∑nk=1loga1+13k-2⑧的形式（板书）后，将⑧式放缩，产生④式是否会更容易些（教师重新表征条件信息，突出相同的三项的更为原始的表达，主要目的是促进学生形成直觉思维，即提醒学生萌生“分项放缩”的暗示，这种暗示的取得逻辑思维活动是帮不上忙的.看似教师的灵机一动的重新表征，正是教师的匠心独运，它构成了促进学生生成新的暗示的比较有效的教学手段）？

生4：从⑧式中获得启示：如果对⑧式中的∑nk=1loga1+13k-2直接放缩，那么，这三个同样的∑nk=1loga1+13k-2就不能产生互补作用，发挥不了将问题条件搭配从而形成结构性的整体功能的发挥，因此，我们考虑将三个∑nk=1loga1+13k-2进行各自不同的放缩，以期能利用问题结构的整体性，形成一种相互协调与相互补充的结果，可能有利于问题的解决，但是，……（学生如此想法的出现，正是典型的直觉思维活动过程.事实上，如果需要进一步加以分析的话，可以发现，学生是从审美意向的角度来考察问题的，从和谐美的视角产生出如此暗示的，数学中审美意向是直觉思维凭借的重要方法之一，即“以美启真”，通过这种暗示，可以立即过渡到“问题的具体解决”的环节，为检验这种暗示的具体行动提供了动力，也奠定了基础）

生5：我想，将⑧式中第一个∑nk=1loga1+13k-2不放缩，第二个∑nk=1loga1+13k-2放缩成∑nk=1loga1+13k-1，第三个∑nk=1loga1+13k-2放缩成∑nk=1loga1+13k，如此进行试探（果然，生5找到了一种非常具体的方法，就是“分项放缩”这一暗示的心理来源）.下面，对a分两种情形加以分类讨论：

当a>1时，由函数y=logax在所在定义域内单调递增，知3∑nk=1loga1+13k-2>∑nk=1loga1+13k-2+∑nk=1loga1+13k-1+∑nk=1loga1+13k，这个式子的右端化简的结果就是④式，此时，3Sn>logabn+1；当0

这个例子中的关键环节是从表达式⑧设出表达式⑨、⑩，逻辑思维活动在这里已经中断，而且不容易获得暗示.在这种情况下，如何启动学生直觉思维，对教师的教学能力提出了极高的要求，将教师逼入了两难的境地：教学过程绝对不能将这种教师自己已经发现了的思路，即直接设出表达式⑨、⑩奉送于学生，为达到启发学生发生这种暗示的目的，教师需要极高的教学技艺与能力.如此教学设计是提供了学生的一种获得暗示的方法，其实这也是培养学生直觉思维的一种方法，笔者直觉提醒自己这种教学活动还可能不是最佳的方法，但是，到目前为止，没有找到一种更为有效的方法进行这道例题的教学设计.

3简要结语

在高中教学阶段，利用数学课程资源，培养学生创新能力，逻辑思维只能起检验与确证作用，创新能力培养目标的生命所系与关键所在是培养学生的直觉思维能力.稍微困难一点的数学问题的解决，它逻辑思维表达，对探究活动过程没有多大帮助，而直觉思维却起着支点性的作用.因为，支持逻辑思维的关键环节的取得总是在探究问题所提供的外在信息的过程中，获得关键性暗示，进而检验暗示，如果获得成功，说明暗示是正确的，否则，重新生成暗示，由此构成暗示—检验—再暗示—再检验的过程，而这种暗示的取得，正是直觉思维的用武之地，也是学生创造力的源泉所在，也是创新的教学目标的具体化化与现实化的体现.对此，我们数学教育工作者要思之再思，慎之又慎！

参考文献

[1]张乃达.数学思维教育学[M].南京：江苏教育出版社，1990：75-76

[2][美]威廉·卡尔文.大脑如何思维：智力演化的今昔[M].杨雄里，梁培基译.上海：上海科学技术出版社，1996：1

[3][美]爱因斯坦.爱因斯坦文集（第一卷）[M].许良英，译.北京：商务印书馆，1976：156

[4]张昆，曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径[J].数学教育学报，2015，24（1）：35

[5]王策三.认真对待“轻视知识”的教育思潮——再评由“应试教育”想素质教育转轨提法的讨论[J].北京大学教育评论，2004（7）；2（3）：16

[6]张昆.数学解题教学设计的创新实践研究——基于“美学”的视点[J].数学教育学报，2015，24（5）：43

[7]张昆.函数概念教学的哲学思考——基于一种可操作的设计程序的研究[J].中学数学杂志（高中版），2016（3）：10