张 会 张 海 勾 明

(1-西北大学数学学院，西安 710069;2-中国科学院数学与系统科学研究院应用数学研究所，北京 100190)

1 引言

压缩感知[1,2]是一种全新的稀疏信号重构技术．它能在完全重建的前提下，以远小于传统的奈奎斯特采样的方式获取信息．其本质是利用信息表示的稀疏性，将采样与压缩合并进行的信息获取方式．压缩感知的意义在于突破传统的采样方式，以更经济的形式获取信息，从而为高复杂性信息的获取、处理与应用带来可能．近年来在信号处理、图像处理和统计机器学习及其它多个领域获得广泛应用[3,4]．

压缩感知的数学描述为：假设有一个有限长度的信号x,x∈RN，该信号在某一下可表示为x= Ψs，这里Ψ =(θ1,θ2,···,θN)，s称为基的系数，s至多有k个非零元素(k为s的稀疏度)．对于此信号，通过测量矩阵Θ来对x进行观测(测量)，假定得出的观测值为y,y∈Rp，即满足

通常称Φ=ΘΨ,Φ∈Rp×N为传感矩阵，当k,p,N−→∞时，

ρ是稀疏性的一种度量，δ是欠采样的比例．我们希望从观测数据y恢复稀疏未知向量s，进而恢复信号x．此问题从数学上可建模为下述L0问题个正交基

其中‖s‖0为L0范数，表示向量s的非零分量的个数．上述问题往往对应于一个NP难问题，基于此，通常将其转化为L1问题来求解

从而将一个NP难问题通过凸松弛求解．至此后，许多研究者关注于这类问题的研究[5-7]，这一思想也成为当今流行的稀疏信号重建策略．

在特征提取研究中，Fan和Li[8]提出了SCAD变量选择方法，应用于高维数据处理．在统计的意义下，Fan和Li证明了SCAD具有变量选择……