孙宇锋，曾广钊

(韶关学院数学与统计学院, 中国 韶关　512005)



分数阶微分方程边值问题的Picard’s迭代方法

孙宇锋*，曾广钊

(韶关学院数学与统计学院, 中国 韶关512005)

摘要从分数阶微分方程边值问题的近似解出发，应用Picard’s迭代方法证明了其存在唯一解；研究了非线性函数f(t;x(t),x′(t))由一个函数序列{fm(t;x(t),x′(t))}近似代替时，边值问题解的Picard’s迭代序列满足的形式及其存在唯一解的充要条件；讨论了这类边值问题不考虑近似解以及非线性函数Lipschitz类的因素时，其解的一般性存在条件；最后通过两个数值算例验证了这类边值问题解的存在性以及解与其迭代序列的误差估计.

关键词分数阶微分方程；迭代方法；近似解；误差估计

本文在文献[1～7]的基础上，讨论基于Caputo’s分数导数的一类分数阶微分方程的边值问题, 并通过其近似解的Picard’s迭代序列，得到相应的解的存在性和唯一性定理.

考虑如下分数阶微分方程的边值问题

(1)

1预备知识

这一节给出Caputo’s分数导数和Riemann-Liouville分数积分的定义(见文献[8])以及几个概念和引理.

定义1设 h(t)∈C1([0,1],R+)，则下面积分

称为h(t)的Riemann-Liouville分数积分, 这里Γ(α)是Γ-函数，α∈R+.

定义2设h(t)∈C1([0,1],R+)，则h(t)的α阶Caputo’s分数导数由下式定义：

这里n=[α]+1，α∈R+.

定义3一个函数x(t)称为(1)的解. 如果 ①x(t)∈C1([0,1],R+)， ②x(t)满足(1)的条件，③ 方程 (1) 对于t∈[0,1] 成立.

引理1[4]若x(t)∈Rα，则x(t) 是(1)的解的充要条件是

引理2[4]对于格林(Green’s)函数G(t,s)，下列不等式成立

定义4一个函数z(t) 称为边值问题(1)的近似解, 如果存在ε>0使得

并且，下面条件成立z(0)+z′(0)=0,z(1)+z′(1)=0.

由引理1可知, 近似解z(t)可以被表示成

(2)

容易验证，对于x(t)∈Rα, 如下定义范数‖x‖，则Rα是 Banach空间.

引理3[9]令B是一个Banach空间……