张蓓蓓

“圆”是特殊的平面曲线图形，近年来，利用圆中的基本性质及定理，构造辅助圆来解决问题，在各地中考中备受青睐.虽然应用的知识点比较简单，但是在动态问题中，对学生的能力要求比较高，因此，学生们需要深刻理解基础知识，才能灵活解题.笔者归纳出三类适合添加辅助圆来解决的问题，现结合试题进行分析.

一、利用等距离构造圆解几何题

这类试题的特点是有若干个点到某一点的距离相等，依据到定点距离等于定长的点的集合是圆，即到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，从而构造辅助圆来解决问题.

问题1如图1，在△ABC中，BM=CM，且AM=12BC，求证：∠BAC=90°.

分析由题意得BM=CM=AM，所以，点A、B、C在以点M为圆心，MA为半径的同一个圆上，如图2.根据直径所对的圆周角为直角，得∠BAC=90°.

问题2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是.

分析线段AF的端点A是定点、F是动点，为了求出线段AF长的最小值，需要先确定动点F的运动轨迹.根据△DBE沿DE翻折使点B落在点F处，可知点F到点D的距离始终等于BD的长度3，因此，点F的运动轨迹是以点D为圆心，DB长为半径的圆（如图4）.连接AD与⊙d交于点F1，AF1就是线段AF长度的最小值.由题意可得AD=5，DF1=DB=3，所以AF1=AD-F1D=2.

二、利用圆周角定理的推论构造圆解几何题

这类试题的特点一：需要确定一个动点为直角顶点；特点二：一个四边形的一组对角都是直角.依据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，从而构造辅助圆来解决问题.

问题3平面直角坐标系中，已知点A（-4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=-12x+2上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有个.

分析△ABC为直角三角形，并没有明确哪个角是直角，因此，需要分三种情况讨论.当B为直角顶点时，过点B作x轴的垂线与已知直线交于点C1；当A为直角顶点时，过点A作x轴的垂线与已知直线交于点C2；当C为直角顶点时，由直径所对的圆周角是直角，联想到点C的轨迹是以AB为直径的圆，圆与已知直线有两个交点C3、C4（如图6）.因此满足条件的点C共有4个.

问题4在平面直角坐标系中，直线y=43x+4分别交x、y轴于点B、C两点，点A在x轴的正半轴上，过A点作直线BC的垂线，垂足为E，且E在BC边上，线段AE交线段CO于F点，在点A运动的过程中，连接EO、BF，试判断∠FEO与∠FBO的大小关系，并说明理由.

分析由题意得∠BEF=90°，依据90°的圆周角所对的弦是直径，点B、E、F在以BF为直径的同一个圆上，由∠BOF=90°同理可得点B、O、F在以BF为直径的同一个圆上，也就是说点B、E、F、O在以BF为直径的同一个圆上，简称四点共圆.依据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得∠FEO=∠FBO.

三、利用圆周角定理构造圆解几何题

这类试题的特点是角的大小不变，但顶点在动，依据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等，从而构造辅助圆来解决问题.

问题5直线l与线段AC的夹角是50°，且AB=BC，在直线l上找一点P，使得∠APB=30°，满足条件的点P共有个.

分析由∠APB的顶点P在动，但是∠APB的大小不变，联想到圆周角定理：圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，从而把∠APB看做是某个圆的圆周角，根据圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，可得圆心角的度数为60°，作出如图9所示的等边△AMB，以M为圆心，MA为半径画圆，则点P的轨迹是圆上弦AB以上的部分，与直线l相交于P1、P2，即满足条件的点P共有两个.

问题2如图10，在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（5，0）、C（6，3）、D（0，3），点P为线段CD上一点，且∠APB=45°，则点P的坐标为.

分析由∠APB的顶点P在动，但是∠APB的大小不变，联想到圆周角，需要添加辅助圆⊙M，且圆心角∠AMB=90°，圆的半径为22，点P的轨迹是圆上弦AB以上的部分，与CD交于P1、P2，作MH⊥x，连接P1M，可得P1M=22，MH=1，P1H=7，则DP1=3+7<6（CD=6），所以P1（3+7，3），同理可得P2（3-7，3）.