张钰婷

类比推理是理解新问题、拓展新领域的重要手段.波利亚曾说：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现.”开普勒也说：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可依赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中尤其不能忽视它.”

以下是类比推理的应用举例.

类比推理具有探索真理，发现真理的作用，是科学创造中的一个重要思想方法.在数学学习中若注意自觉运用类比推理的方法，将对拓展思维、培养理解能力、增强解题能力等方面有重大的意义.类比推理具有思维、理解、解题功能.既然类比推理如此重要，那么到底在数学中有什么应用呢？

1.类比推理在圆锥曲线中的应用

圆锥曲线中，圆、椭圆、双曲线在定义的时候都是通过到定点的距离来定义的，它们之间的很多性质通过类比也可以得到.

例如：由点与圆的位置关系类比得到点与椭圆的位置关系.

由圆的概念易得点P与圆O的三种位置关系：

点P在圆上，则|PO|=r（r为圆O的半径）；

点P在圆外，则|PO|>r；

点P在圆内，则|PO|

由上述结论可以看出，点和圆的位置关系与一个定点和一个常数（半径）有关，那么，椭圆中的两个定点（即焦点）与一个常数（即2a）有关，应用类比推理，是否得到椭圆中的类似结论？

由类比，我们容易得到如下的猜想：

若点P在椭圆上，则|PF1|+|PF2|=2a；

若点P在椭圆外，则|PF1|+|PF2|>2a；

若点P在椭圆内，则|PF1|+|PF2|<2a.

下面我们来验证或证明这个结论的正确性.根据椭圆的概念容易知道：

若点P在椭圆上，则|PF1|+|PF2|=2a成立；

若点P在椭圆内，连接F1P并延长交椭圆于Q，则

|PF1|+|PF2|<|QF1|+|QF2|=2a.

同理，可以证明出点P在椭圆外的结论.

2.类比推理在几何中的应用

类比推理在数学中的应用最能得到很好的体现的就是在几何中的应用.空间三维中的很多性质，往往都能在平面中找到相类似的性质，这给立体几何的学习带来了方便.

例如：在平面几何中，有勾股定理：设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥A-BCD的侧面积与底面积之间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，且面积分别是S1、S2、S3，△BCD的面积是S，则S与S1、S2、S3之间的关系是”.

分析联想勾股定理的证明过程：

如图1，作CE⊥AB于E，利用投影定理得

BC2+AC2=BE·AB+AE·AB=AB2.

根据平面的解题方法，类比空间图形的做法，作截面（图2），所以

S21+S22+S23=14（BC2·AE2+AD2·AC2+AB2·AD2）

=14（BC2·AE2+AD2·BC2）=14BC2·DE2=S2，

即S2=S21+S22+S23.

又例如：设△ABC的两边AB、AC互相垂直，且AB=a，Ac=b，则内切圆的半径r=aba+b+a2+b2.

类比到空间，得“三棱锥A-BCD中，三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，且面积分别是S1、S2、S3，则三棱锥的内切球的半径是多少？”

分析本题显然要将空间几何类比到平面几何，首先分析一下平面△ABC内切圆半径的求解方法：

因为△ABC的两边AB、AC互相垂直，且AB=a，AC=b，

根据三角形面积的两种不同表示方法，得

12ar+12br+12a2+b2r=12ab，

则r=aba+b+a2+b2.

在三棱锥A-BCD中，设三条侧棱分别为AB=a，AC=b，AD=c，底面△BCD的面积为S，由于三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，且面积分别是S1，S2，S3，由上例我们可以得到S2=S21+S22+S23.

又三棱锥A-BCD中，以内切球的圆心为顶点，三棱锥A-BCD的四个面为底面构成的四个三棱锥的体积之和等于三棱锥A-BCD的体积，从而有

13S1r+13S2r+13S3r+13S21+S22+S23=13×12abc.

由于12ab=S1，12bc=S2，12ac=S3，

得12abc=2S1S2S3，

即r=2S1S2S3S1+S2+S3+S21+S22+S23.

从上面类比推理的应用中，我们可以看到，无论是在代数中还是在立体几何中，不论是关于概念，还是关于性质和结论，都运用到了类比推理的方法.近年来，中学教学中，又加重了类比推理思想的比重，可见类比推理在数学学习中有着越来越重要的地位.那么怎么培养学生的推理能力，让他们在数学学习中像演绎推理一样顺畅的应用呢？1、注重知识的积累，完善自身知识体系虽然说，教师是学校教育系统中，最重要的因素，在与学生的授受关系中，教师处于主导的地位.学生知识体系的构成，大部分是依靠教师的亲口传授.但是，知识的吸收、内化、形成知识系统还是由学生自身来完成.在发现新知识、创新解题时，教师通常会进行引导、组织学生运用类比推理的思想去解决，这时，学生就要注重知识和方法的积累.通过研究发现，学生已有的知识水平对类比能否顺利实施开展起决定作用，只有有了相关知识，才使类比推理的发现有了可能.只有头脑中有完整的知识体系，在碰到新问题时，才能从体系中，抽取出与新知识具有联系的已学知识.因此，在遇到问题时，要尽量思考，探索新颖的解题方式，而不是形成思维定势，这样不利于类比推理能力的培养.2、 创设类比问题情境，加强练习模仿在培养操作技能时，模仿了之后，我们就要进行反复的训练，使之达到熟练的程度，同样，类比推理能力的培养，也需要这样的练习，那就是多经历这样的类比问题情境.在数学教学中，教师会适时的创设类比推理的问题情境，并且在讲解过程中，会将思维过程和每一个环节展示给学生，让学生能够形象具体的感受到类比推理的思想.教师在教学中会创设问题情境，不仅如此，学生在学习过程中，要尽量自己创设情境，增加练习的机会.现在的新教材中，很注重理论练习实际这一点，每节内容中，都涉及到生活的实例，学生可以从这些实际问题出发，类比得到一些数学知识.另外，数学教材的编排是按照知识的发展和学生的认知规律来编排的，这样有利于前后知识的类比.3、 学习过程中注重变式学习应该说变式教学是中国教学中的成功环节，通过变式的学习，可以让学生分析、提炼出表象后面相同本质的东西，通过长时间的潜移默化的影响，培养分析问题的意识和能力，从而加强自身进行主动类比的能力.因此，学生在学习中，对于变式学习，要加以重视，只有这样才会在遇到新的问题时，站在一定的高度去认识、把握问题，才能有自己独特的想法.4、开展小组合作学习，增进交流中学生的思维还不成熟、不完善，演绎推理对他们已经有一定的难度，类比推理对他们的要求可能相对更高了，有时，单靠学生自己在短时间内事很难发现内在联系并解决问题.所以，学生在自我学习的时候要更多的和身边的同学组成小组，一起进行探究.俗话说：“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”，通过小组成员间的讨论，使大家的思维都活跃起来，通过小组的合作去提出问题、解决问题、构建知识.这样，不仅解决了问题，在训练自己的类比推理的同时也增加了其他人进行类比思维训练的机会.在合作学习中，共同提高类比推理能力.5、注重题后反思许多学生在解决完问题后，就不会去思考什么，特别是那些有难度的问题，学生往往会沉醉在成功解题的兴奋中，但不会再回过头去研究问题.而题后反思恰恰是很重要的一个环节.将所解问题与之前所学知识或者已经解决的问题，放在一起思考，或许能找到些共同点和联系之处，这样，在以后的学习中，遇到类似的问题，就能很快发现与之相类似的问题，通过类比，最终解决问题.