陆寿华

在现实课堂中，存在着诸多的理解性问题，例如对于一些抽象的概念好似已经辨明，然而在课后又混淆不清；对知识的应用感到很困难，在做作业的时候，错漏百出；常常不能充分地使用学科语言深入分析问题或表达观点.以往有些教师对数学理解的研究主要集中在数学概念、功能、模式与层次、对数学理解的评价、以及提高学生数学理解能力的教学策略等方面，很少关注学生的理解性学习策略.对此，笔者在教学实践中进行了一些思考和探索.

一、通过问题总结阶段的反思进行理解性学习

数学解题后的反思，就是指学生对数学解题思维过程中的一个问题的思维结果从一个新的角度进行慎重全面的分析和思考，从而深化对问题的理解，优化思维过程.数学理解性学习要求解题之后，还要去进一步反思与理解为什么要这样做、怎样做的、还可以怎么做，运用了什么样的知识与思想方法以及遇到困难时思维为何受阻，以便有意识地了解自身思维后面潜藏的认知，提高学生对数学的认知水平，洞悉数学思维，达到高层次的数学认知理解水平.

具体来说，学生可以从以下几个方面反思：反思题目特征；反思解题思路；反思解题策略的多处应用；反思题目结论，能否一般化、特殊化，能否将结论拓展；反思重要环节的易错处、多解处、困难处；反思解题中反映出的数学思想方法.

反思数学思想方法是进行理解性学习很重要的一个途径.数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为解决问题能力的桥梁.数学学习过程是一个数学认知结构的发展变化过程，这个过程是经同化和顺应两种方式实现的.数学思想方法担当着指导“加工”、“改造”的重担，它不仅提供思维策略，而且提供实施目标的具体手段.在问题解决后，学生反思所用到的数学思想方法，可以更好地正确理解数学.比如，分类讨论是贯穿整个初中数学的一种重要数学思想，也是一种重要的解题策略，通过它可以把一个较为复杂的问题分解成若干个相对确定的问题来处理.每遇到这类题型，数学教师都应把分类讨论的思想方法体现给学生，从分类的原则、对象、标准，到分类的层次，着重调动学生的心智活动，让学生体味思想方法在掌握学习重点、突破学习难点及解决具体数学问题中的灵魂作用，进而达到提高学习效率，促使学生学会学习的目的.

二、从错误分析入手进行理解性学习

学生在数学学习活动中经常会出现各种错误，这种错误往往体现了学生在数学思维以及对某些数学概念、命题的建构等方面的缺漏.但另一方面，作为理解的必要发展阶段，错误的产生又显示出某种合理性.从错误分析入手进行理解性学习能促进学生对概念、命题的更加充分的理解.

1.做好选择性注意策略

选择性注意策略是指学习者在数学学习情境中激活与维持学习的心理状态，将注意集中于有关学习信息或重要信息上，对初中数学学习材料保持高度的觉醒或警觉状态.教师在培养学生对错误的选择性注意的时候可以帮助学生确立学习目标，使学生树立目标意识，能优先选择与目标有关的信息，学生在确立和完成目标的时候可以根据反馈信息，对教学目标适时地进行调整、优化.

案例1解分式方程要检验.

这是初中数学考查的一个重要知识点，不少学生在各种测验、考查中重复出现忘记检验的问题.每次分析试卷时，学生都表示这次疏忽了，可下次考试依然如此.这是由于解分式方程时，“去分母”等步骤在练习中地位举足轻重，学生的注意力过份集中于此，而抑制了“检验”这个注意点，所以，这时应将记忆的重点转移到易被忽略的“检验”上，使“检验”的地位得到强化和凸现.如解分式方程xx-1-1=2x-1x2-1时，可以先求解使分式以及分式方程有意义的未知数的取值范围，在此前提下再解这个分式方程，学生就能自然地把所求得的未知数的值与未知数的取值范围进行对比，从而把x≠1及时舍去，达到检验的效果.还可再编一个分式化简题，如x+2x-1+2xx2-4，并请学生代入一个自己喜欢的数求代数式的值，再一次体会代入的自己喜欢的数必须保证分式有意义即x≠±2且x≠0的大前提.这种针对错误的训练可以培养学生转换思维方式、转变思维方向的自觉性，有利于对实际问题的动态处理，突破思维和心理定势，在长期的训练中不仅可使思维深刻灵活，而且极大地提高学生的理解思维品质.

2.做好纠错策略

教师可给予学生足够的时间对自己的错误进行反思，可以提示学生问自己一些反思的问题：这个题我为什么错了？错误的原因是什么？这个内容和前面学过的知识有什么关系吗？等等.这不仅可以使得对于错误的纠正真正成为学生的自觉行动，更有利于学生养成良好的数学学习习惯和自学能力，而这些习惯和能力对学生的学习终生有益.结合平时的初中数学教学实践，笔者在教学中先让学生把作业或测试中出现的错误当天及时订正；同时指导学生建立数学错题集，把平时做错的题收入其中，并注明错在哪里，如概念不清、审题不仔细、错用公式、计算失误、解答不具体不完整等；然后每章小结时进行典型错题的交流，让学生互相纠错，还要求学生从教材或资料中找出2～3道相同类型的数学题目，或同学间互相找题、编题，并认真解答，以达到巩固、预防之目的.最后，利用每周练习的时间，对一些容易让学生产生错误理解的题目进行检测，再次检验学生是否消除了错误，这样可以有效提高学生的理解能力.

三、通过“说数学”进行理解性学习

1.通过“说数学”加强数学理解

理解是以语言为媒介的，能用语言表述是衡量学生对初中数学知识理解的标志.通过表述，一方面，学生自己进一步理解问题，澄清一些模糊性认识；另一方面，学生理解其他学生问题解决方法，互相比较各自问题解决过程，扩展解决问题的思路，显示出学生理解问题的自主性，也提醒学生要学会从显性的条件中挖掘隐性条件，帮助学生更好地理解数学原理.“说数学”是指用自己的语言叙述数学知识，叙述要完整、准确、流畅，能对叙述的内容作适当解释，经得起老师和同学进一步追问.在这种既听又说的数学交流活动中，教师把学习主动权交给学生，激发和调动学生的学习积极性，促使他们积极思考、积极交流、主动理解.同时，教师也可以从中发现、分析学生的理解情况，做到有的放矢.通过这个表述过程，可以充分暴露学生理解上的缺陷，知道学生哪些地方理解了，哪些地方没理解，理解的程度如何；可以使学生重新认识、思索那些理解得不很透彻的知识，从而促进对知识的理解.

案例2若关于x的方程ax2+2x-1=0有解，求a的取值范围.

绝大部分学生都能算出正确答案a≥-1，但让学生叙述解题方法时发现很多学生是用一元二次方程的根的判别式b2-4ac≥0计算得到，也有同学提出因为二次项系数为字母，所以此方程不一定是一元二次方程，应该先对方程类型进行分类讨论，若a=0，此方程为一元一次方程，此时方程有解，所以a=0成立；若a≠0，则此方程为一元二次方程，再利用一元二次方程的根的判别式b2-4ac≥0计算出a≥-1，所以a≥-1且a≠0.最后两种情况综合得到a≥-1.同样的答案，通过说数学，充分暴露学生理解上的缺陷，知道学生哪些地方理解了，哪些地方没理解，从而促进对知识的准确理解.

2.“说数学”的内容与数学思想方法

数学知识主要是数学基本事实、概念、原理、法则等.学生运用普通语言和数学语言描述和展示自己对数学现象、事实、概念、法则、定理、公式等知识的理解、把握和应用.学生“说数学”需要经历下面过程：熟练说出数学知识的内容，用饱含着自己体验的语言表达数学知识，能多方位对概念进行解释，说出知识点的内涵和外延，说出与相似知识点的联系、区别以及这类概念的易混淆之处，最后利用准确的数学语言表达数学知识.在这一过程中，经过争辩、互动、小组交流等方式学生逐步形成共识，加深对数学知识的理解.

此外，数学思想方法是数学概念、理论的相互联系和本质所在，是贯穿于数学的、具有一定概括性的概念，一直贯穿于数学知识的学习和问题解决的过程之中.学生“说数学”主要是说出用到的数学思想方法，并能在不同知识和背景下，提炼共同的数学思想方法.通过这个过程，学生加深对数学思想方法的理解，从而能够提高自身灵活迁移理解数学知识的能力.

在初中数学学习中，加强初中学生数学理解性学习很重要.只要我们在初中数学教学中，有意识加强这方面的思考与探索，围绕着加强学生数学理解性学习，采取切实有效的措施，就会收到好的理解效果.