张冬杨，苏亚坤

(渤海大学，辽宁 锦州　121000)



Banach空间中广义f-投影算子连续性的应用

张冬杨，苏亚坤

(渤海大学，辽宁 锦州121000)

摘要：在自反严格凸且光滑的Banach空间中，利用广义f-投影算子的连续性求解了GVIT(K，T，f)广义变分不等式。

关键词：广义f-投影算子；GVIT(K，T，f)广义变分不等式；对偶变换；连续性

1预备知识

首先给出对偶映射J的一些性质[1]：

1) X是自反的，当且仅当J是满射；

2) X是严格凸的，当且仅当J是单射；

3) X是光滑的，当且仅当J是单值映射；

4) 如果X是光滑的Banach空间，那么J:X→X*是弱星连续的；

5) 如果X是自反严格凸且光滑的Banach空间，那么J∶X→X*是X*中的对偶映射且J-1=J*,JJ*=I。

对任意给定的ρ>0，令G:X*×K→R∪{+∞}，定义

下面介绍G函数的性质[2]：

2) 对于φ而言，如果x是固定的，那么G(φ,x)是凸的和连续的；

3) 对于x而言，如果φ是固定的，那么G(φ,x)是凸的和下半连续的。

在已有G函数的基础上，Wu和Huang[2]在一致凸一致光滑的Banach空间中定义了广义f-投影算子，即：

文献[3]给出Banach空间中广义变分不等式GVI(K,T,f)的定义，即：对任意的x∈K, ρ>0，存在u∈Tx，如果满足

其中T∶K→X*是集值变换。

另一方面，作为应用，文献[4]证明了在自反严格凸且光滑的Banach空间中广义f-投影算子是单值且连续的，并应用该性质求解广义变分不等式：

其中，任意ξ∈X*,A:K→X*。迭代结构为

本文在上述文献的启发下，在自反严格凸且光滑的Banach空间中，利用广义f-投影算子的弱对强连续性，求解广义变分不等式GVI(K,T,f)。

本研究需要以下引理[2]：

引理3若X为自反严格凸且光滑的Banach空间，则

引理4如果是任意给定的实数r>0，那么X是一致凸的Banach空间，当且仅当存在严格递增的凸函数 g∶R+→R+，且g(0)=0，使得

其中∀x,y∈Br,λ∈[0,1]。

2主要结果

定理1令X是一致凸且光滑的Banach空间，K是X中非空紧凸子集，且0∈K,T∶K→X*是上半连续且闭的， f∶K→R是真凸下半连续的，假设存在β>0，使得J-βT∶K→X*是紧的。假设：对……