□朱元生



这些图形是平行四边形吗

□朱元生

平行四边形的主要内容是平行四边形的性质和判定，而判定平行四边形常有三种思路：①从对边考虑：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②从对角考虑：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③从对角线考虑：对角线互相平分的四边形是平行四边形.如果把这些条件重新组合，那么得到的四边形还是平行四边形吗？

1.一组对边平行，另一组对边相等

如图1，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是边AB、AC上的中点，容易证得DE∥BC，BD＝CE.在四边形BCED中，虽然有DE∥BC，BD＝CE，即一组对边平行，另一组对边相等，但由于DE≠BC，显然四边形BCED不是平行四边形.

图1

结论：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.

点评：要说明一个命题成立，需要经过推理论证，而要说明一个命题不一定成立，只需举出一个反例即可.

2.一组对边平行，一组对角相等

如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形.

图2

证明：连接BD，

∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.在△ABD和△CDB中，

∴△ABD≌△CDB，

∴AB＝CD.

∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

结论：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.

3.一组对边相等，一组对角相等

如图3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，且BD≠DC，作△ADE，使AE＝DC，DE＝AC，则△ADE≌△DAC，

∴∠ACD＝∠DEA，AC＝DE.

而∠B＝∠ACD，AB＝AC，

∴∠B＝∠DEA，AB＝DE.

图3

在四边形ABDE中，虽然有AB＝DE，∠B＝∠DEA，即一组对边相等，一组对角相等，但由于BD≠DC，即BD≠AE，因此四边形ABDE不是平行四边形.

结论：一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行……