□朱元生



陷阱设在何处

□朱元生

平面直角坐标系是“数”与“形”结合的典范，通过平面直角坐标系可以研究数量变化的代数问题和研究位置变化的几何问题间的相互转化.而有些同学在解答直角坐标系的有关问题时，由于掌握知识不够牢固，考虑问题欠周密，常会出现这样那样的失误，现就常见错误举例剖析如下.

一、点的坐标

例1已知点P1关于x轴的对称点P2（3－2a，2a－5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则点P1的坐标是______.

剖析：错解混淆了关于x轴、y轴及坐标原点对称的点的坐标之间的关系.关于x轴对称的点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，其横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于原点对称的点，其横、纵坐标均互为相反数.即点P（a，b），则它关于x轴对称的点的坐标为（a，－b），关于y轴对称点的坐标为（－a，b），关于原点对称的点的坐标为（－a，－b）.

正解：得到点P2的坐标为（－1，－1），因为点P1、P2关于x轴对称，则点P1、P2的横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以点P1的坐标是（－1，1）.

点评：此例考查了直角坐标系内的点在各个象限内的坐标符号以及关于x轴、y轴及坐标原点对称的点的坐标之间的关系.通过列不等式组求得a的取值范围，又点P2为整数点，得到a的值，从而点P1的坐标可求.

二、点的变换

例2已知点M（3，－2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是______.

错解：点N的坐标为（3＋4，－2－3），即（7，－5）.

剖析：错解混淆了点的平移方向对应的点的坐标的增减情况.向左平移4个单位，横坐标减少4，即为3－4＝－1；再向上平移3个单位，则纵坐标增加3，即为－2＋3＝1.

正解：点N的坐标为（－1，1）.

点评：当点P（x，y）在坐标平面内沿水平方向向左或向右平行移动a个单位长度到达点P′的位置时，其纵坐标不变，横坐标左减右加，这时点P′的坐标为（x－a，y）或（x＋a，y）；当点P（x，y）在坐标平面内沿竖直方向向上或向下平行移动b个单位长度到达点P″的位置时，其横坐标不变，纵坐标上加下减，这时点P″的坐标为（x，y＋b）或（x，y－b）.

三、图形的变换

例3如下图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA 在y轴上，且OC＝2，OA＝4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（）.

A.（2，4）B.（－2，4）

C.（4，2）D.（2，-4）

错解：A.

剖析：根据图形的旋转不改变图形形状和大小，所以矩形OA′B′C′的长OA′＝4，宽A′B′＝2，所以点B′的坐标为（4，2）.

正解：C.

点评：把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，点B′到了第一象限，错解只注意到点的坐标的符号发生了变化，而疏忽了坐标的数值也发生了变化.

插图：杨明