高佳慧 邱为钢（湖州师范学院理学院，浙江湖州 313000）



共轴平行圆盘的电容系数

高佳慧 邱为钢
（湖州师范学院理学院，浙江湖州 313000）

摘 要由泊松方程和边界条件，给出了共轴平行不同大小圆盘的电势含两个待定函数的积分表达式．电势在圆盘上为定值，电场在圆盘外所在平面上连续，由此得到两个待定函数的偶合积分方程．利用数值积分中的Gauss－Lobatto公式，得到了圆盘上电荷数值表达式．两个圆盘上的电荷与圆盘电势成线性关系，其系数矩阵为电容系数矩阵．给出了电容系数和圆盘半径与圆盘间距比值得等高线图．

关键词圆盘；电容系数；积分方程

理想的平板电容器由两个平行的无限大金属板组成，板间的电场是匀强电场，所以两个板之间的电势差很容易计算，系统的电容也容易给出．实际制作中，平板电容器有两个修正，一个是两个平板不可能严格平行，有夹角．忽略边缘效应（即认为是无限大），平板之间的电势可以求出［1－3］．另一个修正是平板具有有限面积，最简单的是圆盘形．单个带电金属圆盘的电势分布的解析解已经求出［4，5］，两个平行共轴金属圆盘的电势分布，文献［6］认为存在解析解，但文献［7］指出了推导错误，文献［8］给出了数值解．我们沿用文献［8］的方法，考虑不同大小共轴平行金属圆盘的电势分布，给出电势分布函数满足的积分方程．数值求解得到了电容系数和圆盘半径与圆盘间距比值的等高线图．

设圆盘所在平面与xy平面平行，圆心在z轴上．为讨论方便，第一个圆盘圆心在原点，半径为R1，电势为V1，第二个圆盘圆心在z＝L处，半径为R2，电势为V2．采用柱坐标，在两个圆盘之外的空间，电势Φ（ρ，θ，z）所满足的无源泊松方程为

考虑到圆柱对称性，即电势与角度无关．对式（1）采用分离变量法，再考虑无穷远处的边界条件，即电势趋向于零，方程式（1）的一般解是极坐标零阶贝塞尔函数和纵坐标指数衰减函数的乘积：

其中k是大于零的参数．由体系的几何形状以及电势的连续性，假设电势Φ（ρ，z）为式（2）一般解的积分表示，横截面上极坐标零阶贝塞尔函数不变，纵坐标方向是两个指数衰减函数的线性叠加，即

其中g1（k）和g2（k）是两个未知的待定函数．两个金属圆盘是等势体，所以有

在圆盘以外平面上，电场的z分量连续，当z＞L时，计算得到电场的z分量为

当0＜z＜L，电场的z分量为

当z＜0时，电场的z分量为

由电场z分量为在z＝0平面上的连续条件，得到

由电场z分量为在z＝L平面上的连续条件，得到

式（4）、（5）、（9）、（10）联立，理论上解出g1（k）和g2（k）的表达式，就能确定电势Φ（ρ，z）．

由积分恒等式

可设：

式（12）、（13）反代回（4）、（5）式，定义关联函数G（r，ρ，L）为

计算得到

由积分方程的阿贝尔转换公式［8］

参照文献［8］上的积分公式，计算得到

其中积分核K（r，r′，L）为

式（18）、（19）是积分方程，理论上确定f1（r）和f2（r）就能确定两个圆盘上的电荷Q1和Q2．由高斯定理和电场的表达式（6）、（7）和（8），计算得到圆盘上的电荷量为

由g1（k）和g2（k）的积分表示式（12）、（13），计算得到

电容系数矩阵Cij定义为

把积分看做是无限个矩形的面积之和，式（18）、（19）就化为无穷大的矩阵乘积形式．把两个区间［0，R1］和［0，R2］同样N等分，令矢量V1和V2：

令矢量f1和f2为

以及矩阵A，B为

那么式（18）、（19）形式上化为

式（28）有解

其中I是N×N的单位矩阵．把式（29）的解代入式（23），得到圆盘上电荷量为

对比式（24）和式（30），就能读出两个圆盘的电容系数来．从式（30）的关系式中，可以看出电容系数的关系式

取两个圆盘间距L为距离单位，电容以4ε0L为单位，那么圆盘系统的电容系数矩阵只依赖于两个圆盘半径与圆盘间距比值参数R2／L，定义两种等效电容为数值计算得到两种等效电容等高线图如图1和图2所示，图中坐标单位是0．1L．

由图1可以看出，对于第一种等效电容，圆盘半径越大，数值越大；对于第二种等效电容，圆盘半径越大，数值越小．

本文中的圆盘，由于共轴平行，所以很自然采用柱坐标系和分离变量法．对于两个共轴平行的正方形金属盘，缺乏圆柱对称性，就不能采用柱坐标方法来解决．我们希望能找到数学物理和计算物理相结合的方法，求解正方形平板电容系数，将在后文中继续讨论．

图1　第一种等效电容的等高线图

图2　第二种等效电容的等高线图

参考文献

［1］ 秦德培．非平行板电容器的电场和电容的简化计算［J］．大学物理，1995，14（1）：13－14．

［2］ 郑民伟．非平行板电容器的电容和电场的一种计算［J］．大学物理，2001，20（2）：17－18．

［3］ 葛松华．非平行板电容器的电场和电容的另一种计算［J］．大学物理，2004，23（11）：40－41．

［4］ 斯迈思，戴世强．静电学和电动力学（上册）［M］．北京：科学出版社，2081：36－36，177．

［5］ 熊建平．导体薄圆盘的电荷分布［J］．大学物理，1999，18（5）：8－10．

［6］ Atkinson W J，Young J H，Brezovich I A．An analytic solution for the potential due to circular parallel plate capacitor［J］．J．Phys．A：Math Gen，1983，16：2837－2841．

［7］ Hughes B D．On the potential due to circular parallel plate capacitor［J］．J．Phys．A：Math Gen，1984，17：1385－1386．

［8］ Carison G T，Illman B L．The circular disk parallel plate capacitor［J］．Am．J．Phys，1994，62（12）：1099－1105．

简讯

来自《科学》杂志的近日报道：

CAPACITY COEFFICIENTS OF COAXIAL PARALLEL DISK

Gao Jiahui Qiu Weigang
（School of Science，Huzhou Teachers College，Huzhou，Zhejiang 313000）

AbstractFrom Poisson equation and boundary condition，the electric potential of two different coaxial parallel disks is derived，which is an integral expression with two undefined functions．Because the electric potential is constant on the disk and the electric field is continuous on the plane outside the two disks，two coupled integrated equations of the undefined functions can be obtained from the boundary conditions．The numerical expression of charges on the disks are got by Gauss－Lobatto method．Relationship between charges and electric potential on two discs are shown to be linear，and the coefficients matrix between the charges and the potentials are defined as capacity coefficients matrix．Contour map of capacity coefficients are drawn as a function of the ratio between the radius and distance of two discs．

Key wordscircular disk；capacity coefficients；integral equation

作者简介：高佳慧，男，在读本科生；邱为钢，男，副教授，主要从事大学物理的教学和研究．wgqiu＠hutc．zj．cn

基金项目：国家自然科学基金（11475062，11275067）；湖州师范学院首届中青年教师卓越教学能力培养计划（2014ZYJH017）、数学物理方法课程教学研究项目（JZW－15－SL－03）．

收稿日期：2014－08－07