吴海娜刘 顺公卫江谢成浩易光宇（东北大学理学院，辽宁沈阳 089；东北大学机械学院，辽宁沈阳 089；吉林大学交通学院，吉林长春 00）



用微元法巧解软绳下落过程的能量损失

吴海娜1刘 顺2公卫江1谢成浩3易光宇1
（1东北大学理学院，辽宁沈阳 110819；
2东北大学机械学院，辽宁沈阳 110819；
3吉林大学交通学院，吉林长春 130012）

摘 要很多教科书涉及均质软绳（或者链条）下落或提升的问题．软绳类的问题更具有迷惑性．当求解软绳从桌面掉下等问题时，发现用机械能守恒定律求解和用动量定理求解此问题，得到的结果不一样．文章对这种情况进行了分析，指出软绳下落过程中实际上机械能不守恒，利用微元法严格计算了软绳下落过程中的能量损失，得到其解析表达式．根据能量守恒定律，外力所做的功减去能量损失就是机械能的增量，所得结果与动量定理求解一致．通过具体推导过程澄清了软绳下落过程中的能量损失问题．

关键词软绳问题；动量定理；机械能守恒定律；能量损失

1 问题的提出

文献［1］的例子为（图1（a））：一软绳长为L，单位长度的质量为λ．软绳放在桌子上，桌子上有一个小孔，软绳一端位于小孔处，其余部分平堆在小孔周围．受到某种扰动后，软绳由于自身的重量开始下落，求软绳下落速度与落下距离之间的关系．软绳与各处的摩擦均不计，且认为软绳柔软得可以自由伸开．

图1　软绳在桌面上下落示意图

方法一：利用动量定理求解［1］

选桌面上一点为坐标原点，竖直向下为Oy正方向．设在某时刻，软绳下落部分长度为y，此时在桌面上的软绳长度为L－y，它们之间的作用力为内力．作用于系统的外力有：下落部分软绳所受的重力m1g，桌面上的软绳所受的重力m2g和支持力FN，且FN＝－m2g，故作用在系统上的外力为

由动量定理可得

设在t时刻，软绳下落的长度为y，下落速度

将式（1）和式（3）代入式（2），计算可得软绳下落的速度和落下的距离的关系为则完全下落时的瞬间速度为

方法二：用机械能守恒定律求解［2，3］

建立坐标系，坐标原点设在桌面处．把软绳和地球看成一个系统，系统机械能守恒．以坐标原点为重力势能零点，以刚释放为系统的初态，初态时动能为零，势能为零，以软绳下落y时为终态，终态动能为

从式（4）和式（7）可以看出，用动量定理和用机械能守恒定律求解所得的结果不一样，事实上，软绳下降过程可以看成是下降主体与待下降微元的完全非弹性碰撞，机械能并不守恒，损失的能量到底是多少呢？文献［6，7］提出在链条拉动过程中，链条由静止并入运动部分时类似于碰撞，其动能的变化必须用外力的功与碰撞内力的功的代数和去量度．在下文中将假设软绳为环的数目是无限多的链条．

本文从能量守恒的角度出发，采用微元法，认为软绳下降过程可看成是下降主体与待下降微元的完全非弹性碰撞，则下落过程中重力所做的功减去能量损失就是系统动能的增量，得出结果与动量定理求解的完全一致．下面对此问题进行详细分析并得出结论．

2 软绳下落过程中的能量损失计算

假设软绳的总质量为M，长度为L，将软绳均匀分成N段（N→∞），每段的质量为M／N，长度为L／N．我们认为软绳的下落过程，是软绳下降主体与待下降微元之间完全非弹性碰撞后再以同一速度向下运动．先来考虑这样一个问题：质量为am的软绳（其中a为正整数），速度为v0，与另一静止且质量为m的物体发生完全非弹性碰撞，碰撞后的共同速度为v1，求碰撞过程中损失的能量．该运动过程满足动量守恒定理

则碰后速度与碰前速度有如下关系

在此碰撞过程中系统损失的能量为

将式（9）代入式（10）可得能量损失与初动能和末动能的关系

下落过程如图1（b）、（c）和（d）所示．我们设想一种情况：第一段落下后，与第二段（后一段）发生碰撞，而第三段依然静止．对于第一段下落，重力所做的功等于动能的增量，设第一段得到的速度为v0，动能为Ek1，

第一段下落后，第二段和第一段发生完全非弹性碰撞，碰撞后第一段和第二段组成的系统总动能设为Ek2，碰撞过程中能量的损失为

由式（11）可得

第二段和第一段碰后一起下落，重力势能转化成动能，末动能E′k2为

第三段与第二段和第一段的结合体碰撞，根据式（11）可知能量损失为将式（15）代入该结果可得

第四段与第三段、第二段、第一段的结合体碰撞，能量损失为

依次类推，可以得到第n次碰撞过程中能量的损失E损n为

由于软绳被均匀分成N段，共发生了N－1次碰撞，则整个过程中总的能量损失为

从式（18），提取出一个数列表达式如下

以此类推，易得

由推导过程易知当n＝n时，有n－1项（除a1项外），当n＝2时，有1项（除a1项外），据此即可求出n取不同值时的值．

令bn＝2（n－1）＋3（n－2）＋…＋

当N→∞，可只求bn中的立方项，忽略平方项、一次项和常数项，可得

而整个下落过程中重力势能的变化量为

根据能量守恒定律

将式（21）、（22）代入式（23），得

这与单纯由动量定理所得结果式（4）是完全一致的．

由以上讨论，不难看出：起决定性作用的是数列bn中的立方项（与初始值a1无关），而数列bn中的立方项由关系式决定，而得到上述关系式的物理模型是软绳微元与主体之间的完全非弹性碰撞，而物理模型是在满足软绳自身性质的前提下提出的（软绳是铁链的极限形式）．至于损失的能量则以热能的形式散失或转化成分子能等等．

综上，我们用微元法得到软绳下落过程中能量损失的具体表达式，形象地阐明了正确的物理过程，利用数学方法得到了定量的结果，澄清了利用动量定理和机械能守恒定律求解同一问题结果不一致的困惑，这对学生如何正确地理解和分析物理问题有积极的借鉴作用，并有利于学生不再对铁链、软绳等线状物体参与运动的部分逐渐变化此类的变质量问题畏难．

3 结语

本文用微元法计算了软绳下落过程中机械能的损失，所得软绳下落的速度和落下距离的关系与按动量定理的计算结果一致．在软绳下落过程中微元与主体之间无时无刻不在发生着的完全非弹性碰撞，严格算出下落过程中的能量损失，最终得出的结果与动量定理求解是完全一致的．

参考文献

［1］ 高法金．大学物理［M］．北京：清华大学出版社，2012：37－38．

［2］ 吴百诗．大学物理学（上册）［M］．北京：高等教育出版社，2012：111－112．

［3］ 许丽萍，田瑞生．物理学原理简明教程（上册）［M］．北京：高等教育出版社，2013：96－97．

［4］ 上海交通大学物理教研室．大学物理学（简明版）［M］．上海：上海交通大学出版社，2013：67－69．

［5］ 赵凯华，罗蔚茵．新概念物理教程：力学［M］．2版．北京：高等教育出版社，2004：126．

［6］ 路峻岭，秦联华，王长江．对用动量定理理解柔绳问题陷阱的探究［J］．大学物理，2011，30（2）：5－8．

［7］ 石东平．变质量质点的动能定理与软绳问题［J］．大学物理，1999，18（3）：22－23，27．

A DIFFERENTIAL ELEMENT METHOD OF SOLVING THE ENERGY LOSS DURING SOFT ROPE DROP PROCESS

Wu Haina1Liu Shun2Gong Weijiang1Xie Chenghao3Yi Guangyu1
（1College of Sciences，Northeastern University，Shenyang，Liaoning 110819；2Mechanical College，Northeastern University，Shenyang，Liaoning 110819；
3Traffic College，Jilin University，Changchun，Jilin 130012）

AbstractMany textbooks mentioned homogeneous soft rope（or chain）drop or promotion problem．Soft rope problem is more confusing．When solving such problems as the soft rope drop from the desktop，people may find that the results are different by solving this problem with the energy conservation law and the momentum theorem of mechanical．This article analyzes this kind of situation，and points out that mechanical energy is not conserved during the soft rope drop process．Through the micro element method，we have calculated the energy loss in the process of soft rope drop exactly，and have obtained the analytic expression．According to the law of conservation of energy，the work done by external force minus the energy loss is the increase of the mechanical energy．The results are agreement with the momentum theorem of solution．This paper clarifies the problem of the energy loss in the soft rope drop process through the specific derivation process．

Key wordssoft rope problem；theorem of momentum；mechanical energy conservation law；energy loss

作者简介：吴海娜，女，讲师，研究方向是凝聚态物理理论．wuhainana＠163．com；刘顺，男，在读本科生；公卫江，男，教授，研究方向是介观物理；谢成浩，男，在读本科生；易光宇，男，讲师，研究方向是介观物理．

基金项目：2014年度辽宁省普通高等教育内涵发展—专业建设专项（跨校修读学分专项），大学物理跨校修读学分课程建设与资源共享（项目编号UPRPI2014024）．

收稿日期：2015－04－16