刘建明

(1.泉州师范学院 数学与计算机科学学院， 福建 泉州　362000;

2.泉州师范学院 福建省大数据管理新技术与知识工程重点实验室， 福建 泉州　362000;

3.泉州师范学院 智能计算与信息处理福建省高等学校重点实验室， 福建 泉州　362000)



一类特殊矩阵的性质

刘建明1,2,3

(1.泉州师范学院 数学与计算机科学学院， 福建 泉州362000;

2.泉州师范学院 福建省大数据管理新技术与知识工程重点实验室， 福建 泉州362000;

3.泉州师范学院 智能计算与信息处理福建省高等学校重点实验室， 福建 泉州362000)

摘要：定义并研究了O-对称矩阵，从而得到一些结论。

关键词：对称； 合同

1概念与引理

定义1[1]设m×n阶矩阵

则称如下矩阵

为A的全转置矩阵，记B=AO。

定义2[2-4]数域P上，次对角线上的元素为1，而其他位置上的元素全为0的n阶方阵称为次单位矩阵，记为Jn。

定义3设A为n阶方阵，若AO=A，则称A为O-对称矩阵。

定义4[2]设A∈Rn×n，B∈Rn×n,若存在可逆矩阵Q∈Rn×n,使得B=QTAQO,则称A与B为O-合同。

引理1[2]设A为n阶方阵,则

1)(AT)O=(AO)T;

2)(AB)O=AOBO;

3)(A-1)O=(AO)-1。

引理2[2]若A为n阶方阵，则AO=JnAJn。

引理3[2](A+B)O=AO+BO。

2主要结论与证明

命题1设A为n阶方阵，则|AO|=|A|。

证明由引理2

所以|AO|=|A|。

命题2设A为n阶方阵，则A+AO是O-对称矩阵。

证明由引理3可得

根据定义3结论证得。

命题3设A为n阶可逆方阵，K为非零实数，则KAO也为可逆方阵，且

证明由引理1可得

EO=E

所以KAO可逆，且

命题4设A、B为n阶可逆方阵，则AOBO也为可逆方阵，且(AOBO)-1=(BO)-1(AO)-1。

证明因为A、B为可逆方阵,所以由命题3可得AO、BO也为可逆方阵，且(AO)-1=(A-1)O,(BO)-1=(B-1)O。

由引理1可得

故AOBO可逆，且

命题6设A为n阶可逆方阵,则|(AO)-1|=|AO|-1=|A|-1。

证明因A为可逆方阵,故由命题3可得AO也为可逆方阵，即AO(AO)-1=E。故

由命题1可得|AO=|A|，且A可逆，即|A|≠0。故

命题7设A、B∈Rn×n，A与B合同，且A为O-对称矩阵，则A与BO合同。……