刘子立，　王秀玉

(长春工业大学 基础科学学院， 吉林 长春　130012)



求解绝对值方程的光滑化同伦方法

刘子立，王秀玉*

(长春工业大学 基础科学学院， 吉林 长春130012)

摘要：先构造绝对值函数光滑化函数,利用此光滑化函数对绝对值方程Ax-|x|=b建立同伦方程，用逆像定理证明同伦路径的存在性，用一维流形分类定理证明了同伦路径的收敛性,得到该光滑同伦路径的极限点就是绝对值方程的解。

关键词：绝对值方程; 同伦方法; 同伦路径

0引言

绝对值方程Ax-|x|=b,其中,A∈Rn×n,x∈Rn,b∈Rn是非线性方程组的一种推广,其来源于线性互补问题。首先由Rohn J[1]提出绝对值方程，随后，由学者Mangasarian O L[2]指出求解绝对值方程是NP-hard的。Caccetta L[3]利用磨光技术将|x|磨光，把绝对值方程转化为光滑化问题来解决。

在实际计算中，转化绝对值方程、改进算法、弱化条件是一类重要问题。文献[4-6]详细地介绍用同伦方法求解互补问题，但是，用组合同伦方法直接求解绝对值方程的文献未见发表。文中基于这一点，构造绝对值函数光滑化函数，利用光滑化函数建立同伦方程，证明同伦路径的一些性质，最后得到绝对值方程的准确解。

1预备知识

引理1[7]同伦算法的基本原理。

1)求方程组F(x)=0的解，其中F(x)满足条件：

2)选择很容易求解的方程组:

G(x)=0

其中G(x)满足条件：

3)构造同伦方程组:

观察3)中所构造的同伦方程组，同伦参数t的取值范围是[0,1]，当t=0时，同伦方程组所得到的解就是2)中方程组的解，当t=1时，同伦方程组所得到的解就是要求得的1)中方程组的解。

引理2[8](逆像定理)设φ是U⊂Rn→Rp的一个Cα(α>max{0,m-k})映射，如果0是φ的一个正则值，那么φ-1(0)由一些n-p维Cα流形组成。