唐 慧，杨秀良

(杭州师范大学理学院, 浙江 杭州 310036)

两个全变换半群之间的同态II

唐 慧，杨秀良

(杭州师范大学理学院, 浙江 杭州 310036)

令n为一个大于等于1的正整数,Tn和Tn+1分别是Xn={1,2,…,n}和Xn+1={1,2,…,n+1}上的全变换半群.本文在不考虑n=4的情况下刻画出Tn到Tn+1的所有同态.

全变换半群; 同态; 同余

1 引言和结论

设Tn是Xn上的全变换半群,在1998年Schein.B.M.和Teclezghi.B.[1]刻画出Tn的所有自同态,接下来我们自然去研究两个全变换半群Tn和Tm之间的同态.当n>m时的同态已经研究出来[2].在本文中将刻画出当m=n+1且不考虑n=4时Tn到Tm的所有同态.

(1)令ε为Tn+1中的一个幂等元.定义映射Φε:Tn→Tn+1为:对任意的α∈Tn,Φε(α)=ε.

(2)令ε,δ为Tn+1中两个不同的幂等元,且满足条件εδ=δε=δ.定义映射Ψε,δ:Tn→Tn+1如下:

我们的主要结果如下

定理1 (i)取定i∈Xn+1,定义Φi为Tn到Tn+1的一个映射如下:首先规定

其中k∈Xn,{i1,i2,…,in}=Xn+1{i},然后任取α∈Tn{C1,…,Cn},规定

则Φi为Tn到Tn+1的一个单同态.

则Θk为Tn到Tn+1的一个单同态.

反之,Tn到Tn+1任一个单同态φ都具有形式(i)或者(ii).显然在除去n=4的情况下此结论也成立.

(iii)当φ为非单且n≠4时,则φ是同态当且仅当φ为如下形式之一:

(1)Φε,其中ε为Tn+1中的一个幂等元;

(2)Ψε,δ,其中ε,δ为Tn+1中两个不同的幂等元,且满足条件εδ=δε=δ;

反之,当n≠4时,Tn到Tn+1的每个非单同态都具有形式(iii).

2 结论的证明

为叙述方便,令α∈Tn,记im(α)={α(x)|x∈Xn},rank(α)=|im(α)|,ker(α)={(x,y)∈Tn×Tn|α(x)=α(y)}.于是全变换半群Tn上的Green关系[3-4]如下:任取α,β∈Tn,有

为证明我们的结论,需要引入如下几个引理.

令α,β∈Tn,且α,β有如下形式:

(1)

(1)若rank(α)

(2)若rank(α)>k,则α≡Rβ当且仅当α=β;

(2)令ρ是Tn上的任一个非泛同余,则存在k∈{1,2,…,n}与Sk的一个正规子群R,使得ρ=≡R.

引理2 设φ:Tn→Tn+1为同态,则对Tn中的任两个常值变换Ci和Cj有kerφ(Ci)=kerφ(Cj).

证明 任取(a,b)∈kerφ(Ci),则φ(Ci)(a)=φ(Ci)(b),因为CjCi=Cj,从而由φ为同态知

φ(Cj)(a)=φ(CjCi)(a)=φ(Cj)φ(Ci)(a)=φ(Cj)φ(Ci)(b)=φ(Cj)(b),

因此(a,b)∈kerφ(Cj),进而kerφ(Ci)⊆kerφ(Cj),同理可证得kerφ(Cj)⊆kerφ(Ci),故kerφ(Ci)=kerφ(Cj).

证明 对任意……