“2块板砖”妙断“任意”与“存在”难题

◇山东齐先昌

高中数学中“任意”与“存在”(“∀”与“∃”)，出现频率较高,它常常与“恒成立”“有解”“使……成立”等词语相呼应．但是由于自身较为抽象,如果碰上一个题目同时研究2个量词,情况就会变得愈发复杂．因而学生一般遇到此类问题非常头疼．当然此类问题的求解,在一些报刊上已经研究出不少的成果．但大多数文章,都是对“任意”与“存在”的题型特点以及解题规律进行归纳总结,缺乏更高的认识和普遍适用的较为方便可行的通法．笔者经过长时间的教学实践的检验,最终归纳为“板砖求解法”．这种方法可以轻松应对所有的“任意”与“存在”问题,不需要分门别类一一记忆,可以减轻学生的记忆负担．

1研究f(x1)与g(x2)的关系等于研究函数f(x)与g(x)的值域集合的关系

在处理“任意”与“存在”的问题中,常见到这样的条件“f(x1)≥g(x2)”,从等式两边不同自变量的取值x1、x2看,它和“f(x)≥g(x)”是有本质区别的,f(x1)与g(x2)只能表示2个函数在给定区间上各自所取的值,也就是该区间上的值域．那么,这里要研究f(x1)与g(x2)的关系,实际上最终都划归成2个函数f(x)与g(x)的值域的关系,值域实质就是集合,因此最终是研究2个值域的集合的元素之间的关系,即最大值(元素)、最小值(元素)、普通函数值(元素)．

在平时经常遇到“f(x1)=g(x2)”的情形,在教学实践中,理解此类问题最大的障碍是2个函数值域的关系,实质上就是集合间的关系判断．

-2a-2≤g(x2)≤2a-2．

其次,理解值域之间的关系,可以从条件“对于任意的x1∈R,总是有x2∈[-2,2],使得f(x1)=g(x2)成立”的理解入