郑作伟，江卫良，郝后堂，顾志飞

(国电南瑞科技股份有限公司，江苏南京211106)

频率偏移时基波幅值计算误差对保护的影响及其改进算法

郑作伟，江卫良，郝后堂，顾志飞

(国电南瑞科技股份有限公司，江苏南京211106)

分析了频率偏移时傅里叶算法计算的基波幅值的误差；分析了该误差对使用基波幅值作为动作量的过量保护和欠量保护的影响。通过分析得出傅里叶算法计算的基波幅值是频率为模拟量频率两倍的周期函数，在此基础上提出了一种频率偏移时基波幅值的改进算法，该算法通过把傅里叶算法计算出来的基波幅值在一个周期内求平均值再乘以一个与频率相关的系数来求取实际的基波幅值。MATLAB仿真和装置实测结果显示，所提出的改进算法计算的基波幅值误差很小，能够满足继电保护装置对模拟量精度的要求。

频率偏移；傅里叶算法；基波幅值；MATLAB

0 引言

在继电保护装置中大部分保护都是使用模拟量的基波幅值作为保护的动作量[1]。如过流保护使用相电流的基波幅值作为动作量，差动保护使用差电流的基波幅值作为动作量。在继电保护装置中，基波幅值一般使用傅里叶算法进行计算。而在进行傅里叶计算时一般选取系统的额定频率作为基波频率。当模拟量的频率为额定频率时，使用傅里叶算法计算的基波幅值是正确的。但是在很多工况下，例如系统震荡、过激磁和发电机起停机等过程中模拟量的频率将偏移额定频率，这时模拟量基波幅值的计算将有一定的偏差。为了提高在频率偏移时模拟量基波幅值的测量精度，很多文献在傅里叶算法的基础上提出了一些改进算法[2-9]。这些文献中的改进算法都显著提高了基波幅值的测量精度，例如文献[7]中给出了非同步采样时DFT相角计算结果的精确误差表达式，基于该误差公式得到精确的幅值计算公式，具有方法简单、计算精度高等特点，但是计算精度在一定程度上受到相角测量精度的影响。文献[8]中提出了一种以固定高速频率采样后重新同步采样来计算有效值的方法，该方法具有较好的精度和速度，但是高速采样对硬件的要求相对较高。文献[9]中通过跟踪电网频率，根据频率动态调整采样间隔的方法来提高模拟量幅值的计算精度，这种方法在微机继电保护装置中广泛应用于频率偏移比较小的场合，但是由于频率跟踪算法对微机继电保护装置计时等模块可能有一定的影响，因此一般不用在频率偏移比较大的场合。本文分析了各个频率范围内傅里叶算法计算的基波幅值的误差及其对使用基波幅值作为动作量的过量保护和欠量保护动作行为的影响。在此分析的基础上本文提出了一种频率偏移时基波幅值的改进算法。MATLAB仿真和装置实测结果显示，本文提出的改进算法计算的基波幅值误差很小，能够满足继电保护的要求。使用本文改进算法作为基波幅值主要算法的发电机起停机保护已经应用于实际工程。

1 算法推导

1.1 傅里叶算法计算的幅值

目前继电保护中对模拟量x(t)基波幅值的计算一般使用傅里叶算法，首先使用式(1)计算基波的实虚部，然后再使用计算出来的实虚部计算基波幅值。

(1)

式中：f0为傅里叶算法选取的基波频率；t为时间。设模拟量x(t)的表达式为：

x(t)=Msin(2πft+2πfa)

(2)

式中：M为模拟量的基波幅值；2πfa为模拟量x(t)的初相角；f≠f0为模拟量的实际频率，把式(2)代入式(1)，然后对式(1)求幅值可以得到模拟量x(t)基波幅值的表达式为：

(3)

其中：

(4)

傅里叶算法计算的基波幅值与实际的基波幅值的比值为：

(5)

从式(5)可以看出，傅里叶算法计算的基波幅值与实际的基波幅值相差了一个与时间相关的系数Ab(f,t)。因此当模拟量的频率偏移傅里叶算法选取的基波频率时，使用傅里叶算法计算的基波幅值将与实际不符。

1.2 基波幅值对过量和欠量保护的影响

对于式(5)，如果：f>f0，那么：

(6)

如果：f

(7)

综上，对于f≠f0的信号，傅里叶算法计算的基波幅值与实际基波幅值比值的最大值为：

max(Ab(f,t))=kmax(f,f0)

(8)

同理，傅里叶算法计算的基波幅值与实际基波幅值比值的最小值为：

min(Ab(f,t))=kmin(f,f0)

(9)

我国电力系统的额定频率为50 Hz，因此f0=50。在(0～100)Hz的频率范围内，以0.01 Hz为间隔对比值的最大值和最小值进行离散化求解。对求解的结果分析如表1所示。

表1 各频率范围内基波幅值比值最大值和最小值的范围

从表(1)中可以看出，当频率落入(46.11～54.10)Hz这个范围内时，使用傅里叶算法计算的基波幅值的最大值和最小值都落在(0.95～1.05)倍实际基波幅值之间，计算误差在5%以内。继电保护对保护动作量相对误差的要求一般是5%，因此，在这个频率范围内，基波幅值的计算误差对过量保护和欠量保护不会造成太大的影响。

当频率落入(00.00～30.24)Hz和(66.37～99.99)Hz这两个范围内时，使用傅里叶算法计算的基波幅值的最大值和最小值都落在0.95倍实际基波幅值以下，特别是最小值落在0.715 6倍实际基波幅值以下。如果实际的基波幅值与保护定值一样，由于计算的基波幅值较小过量保护将拒动，而欠量保护将误动。

当频率落入(30.25～46.10)Hz和(54.11～66.36)Hz这两个范围内时，使用傅里叶算法计算的基波幅值的最大值与实际基波幅值的误差在5%以内，而最小值比实际基波幅值小5%以上，最小的仅达到0.574 8倍实际基波幅值。在实际的基波幅值与保护定值一样的前提下，如果保护整定的延时较小，那么对于过量保护当基波幅值在最大值附近达到整定时间时保护才有可能动作，对于欠量保护当基波幅值在最小值附近达到整定时间时保护将误动。如果保护整定的延时较长，过量保护和欠量保护将有可能处于交替的启动和返回状态。

文献[10]指出，电力系统正常运行时允许的频率偏移为(±0.2～±0.5)Hz，因此在正常运行时频率都能够落在(46.11～54.10)Hz这个范围内，此时使用傅里叶算法计算的基波幅值对过量保护和欠量保护不会造成太大的影响。在继电保护装置实际处理中，当频率偏移50 Hz不多时(例如在(45～55)Hz范围内)一般使用频率跟踪算法来提高模拟量基波幅值的计算精度[9]，但是由于频率跟踪算法对继电保护装置计时等模块可能有一定的影响，因此一般不用在频率偏移额定频率比较多的情况。对于频率偏移额定频率较多的情况(例如发电机起停机过程)下需要投入的过量保护或者欠量保护来说，需要探讨一种能够准确反映实际基波幅值的计算方法。

1.3 基波幅值的改进算法

A(f,t)和Ab(f,t) 都是周期函数，推导如下：

(10)

同理有：

(11)

即：对于频率为f的模拟量，使用傅里叶算法计算的基波幅值以及计算的基波幅值与实际基波幅值的比值都是频率为2f的周期信号，其频率为模拟量频率的两倍。

对于周期信号，任何起点开始的一个周期的平均值是恒定不变的。设A(f,t)和Ab(f,t)在(t-1/2f,t)这个周期内的平均值分别为Ae(f,t)和Abe(f,t)，可以证明Ae(f,t)=MAbe(f,t)，从而得到实际基波幅值的计算公式为：

(12)

基于此特征，可以使用以下步骤计算模拟量的基波幅值：

Step1.测量模拟量的频率f，计算其基波幅值A(f,t)在(t-1/2f,t)这个周期内的平均值Ae(f,t)。

Step2.计算比值Ab(f,t)在(t-1/2f,t)这个周期内的平均值Abe(f,t)。

Step3.使用式(12)计算模拟量的实际基波幅值。

使用傅里叶算法计算基波幅值需要的时间为1/f0,计算模拟量在其基波幅值一个周期内的平均值需要的时间为1/2f，因此使用本文改进算法计算基波幅值的时间窗为1/f0+1/2f。

在微机继电保护装置中，数据采集和处理都是离散的，上述的各个计算过程在继电保护装置中都使用离散的方法进行处理。因此继电保护装置中对模拟量基波幅值的计算步骤如下：

Step1.在需要计算的频率范围内对频率进行离散化，事先求取各个离散频率处的Abe(f)(对于固定的f，Abe(f,t)是一个固定值，记为Abe(f))的倒数并存在一个数据表格里面。

Step2.使用离散傅里叶变换实时计算模拟量的基波幅值A(f,n) (n为各个采样点序号)。

Step3.使用测频算法测量模拟量的频率f。

Step4.求取A(f,n)在当前点往前1/2f时间内的平均值Ae(f,n)。

Step5.根据频率f在Step1计算出来的表格中查询对应的Abe(f,n) (此时的f可能是变化的，Abe(f)在不同采样点可能不是一个固定值，采样点n的Abe(f)记为Abe(f,n))的倒数。

Step6.使用式(12)求取模拟量的实际基波幅值。

2 仿真分析

使用MATLAB对本文中的改进算法进行数值仿真，仿真时对模拟量的采样频率为每秒2 000点，频率测量使用文献[11]中的测频算法。

2.1 频率不变时的仿真结果

表2 模拟理想波形时幅值的计算误差

表3 模拟实际波形时幅值的计算误差

从表2和表3可以看出，使用傅里叶算法计算的基波幅值的误差非常大；当模拟量为理想波形时，使用本文改进算法计算的基波幅值精度非常高，在所仿真的几个频率内，最大误差小于0.3%，验证了本文算法的正确性；当模拟量模拟实际波形时，使用本文改进算法计算的基波幅值在所仿真的几个频率内，平均误差最大的小于0.6%，最大误差也只有2.41%，能够满足继电保护对模拟量精度5%误差的要求。

2.2 频率变化时的仿真结果

图1 频率变化时幅值的仿真结果

在10～90 Hz这个范围内使用傅里叶算法计算的基波幅值的最大相对误差Errmax1以及平均相对误差Errmean1，使用本文改进算法计算的基波幅值的最大相对误差Errmax2以及平均相对误差Errmean2如表4所示。

表4 频率变化时幅值的计算误差

从图1和表4可以看出，当频率在10～90 Hz这个频率范围缓慢变化时，使用傅里叶算法计算的基波幅值的最大误差达到92.28%，平均误差也有28.64%，误差非常大。使用改进算法计算的基波幅值的最大误差仅有3.97%，平均误差仅有0.23%。说明在频率缓慢变化时改进算法的计算精度依然很高，能够满足继电保护对模拟量精度5%误差的要求。

3 装置实测分析

本文的改进算法已经在发变组保护装置中用于发电机起停机保护幅值的计算，保护装置对模拟量的采样频率为每秒2000点，频率测量使用文献[11]中的测频算法。由于装置界面上显示的模拟量幅值刷新速度较慢，为便于分析，装置实测时加入了调试程序，把傅里叶算法和改进算法计算出来的基波幅值都写入录波文件，通过录波文件可以分析每个采样点得到的基波幅值。

表5 装置实测时幅值的计算误差

从表5可以看出，装置实测结果与仿真分析的结果一致，使用本文改进算法计算的幅值精度有了显著的改善，计算误差最大值仅有0.96%，能够满足继电保护对模拟量精度5%误差的要求。

4 结论

本文分析了傅里叶算法选取的基波频率与需要计算的模拟量的基波频率不一致时，傅里叶算法计算的基波幅值对使用基波幅值作为动作量的过量保护和欠量保护的影响，提出了一种基波幅值的改进算法，该改进算法在频率偏移时能够正确计算模拟量的基波幅值，具有一定的工程应用价值。

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Effects of the Fundamental Amplitude’s Calculational Errors when Frequency Offset on Protections and Its Improved Algorithm

ZHENG Zuowei，JIANG Weiliang，HAO Houtang，GU Zhifei

(NARI Technology Development Co., Ltd.,Nanjing 211106,China)

In this paper, analyses of the fundamental amplitude errors calculated by DFT when frequency offsets and effects of the errors on over protections and less protections which use the fundamental amplitude as action values are conducted. The facts that fundamental amplitude calculated by DFT is a periodic function and its period is twice of the input signal can be found. Hence an improved algorithm to calculate the fundamental amplitude when frequency offsets is putted forward based on the above facts, which calculates the fundamental amplitude by the product of the average value of the fundamental amplitudes calculated by DFT in one cycle and a coefficient related to the frequency. MATLAB simulation and test on practical device shows that, the errors of fundamental amplitude calculated by the improved algorithm when frequency offsets are very small, thus the errors can meet the requirements of the analog accuracy for power relay equipments.

frequency offset; FT; fundamental amplitude; MATLAB

2015-12-21。

郑作伟(1984-)，男，工程师，主要研究方向为微机保护和变电站综合自动化，E-mail：zhengzuoweiwork@163.com。

TM77

A

10.3969/j.issn.1672-0792.2016.03.004