滕　斌， 陈　浩

(重庆科创职业学院， 信息与建筑工程学院， 重庆 永川　402160)



基于Kriging模型的土质边坡可靠度计算方法

滕斌， 陈浩

(重庆科创职业学院， 信息与建筑工程学院， 重庆 永川402160)

[摘要]边坡可靠度计算过程因其功能函数隐式特征及高度非线性而较为繁琐，结合Janbu法与Kriging插值函数方法建立一种易于操作的边坡可靠度计算方法。首先，根据Janbu法原理建立边坡可靠度计算的功能函数；然后，通过对变异性较大的参数进行拉丁超立方抽样，抽取一定规模的随机样本，同时引入Kriging插值函数方法，结合上述抽样样本构件新的功能函数，用Kriging代理模型解决原边坡稳定功能函数所存在的隐式问题；最后，通过一个工程实例，表明该方法具有较高的计算效率，与传统蒙特卡洛法相比，精度优良，具有很强的工程实用价值。

[关键词]边坡工程； Janbu法； 可靠度； Kriging算法； 蒙特卡洛法

1概述

稳定性分析是目前岩土工程界的一个核心问题，尤其是边坡稳定分析事关公路、铁路、建筑物等的安全保障评价的核心内容，具有实用性强，涉及面广等特点。边坡稳定分析经过多年发展，理论基础及计算方法已经得到不断的提升与改善，尤其是近年来计算机的普及是其进入到一个全新阶段[1]。但是边坡的稳定性主要取决于岩土的物理力学特性[2，3]、破坏模式等多种因素，同时边坡工程所处的环境具有较大的不确定性、离散性与复杂性[4]，受上述因素的影响，在边坡稳定分析中各种参数的取值具有很强的不确定性，因此将边坡稳定性方法研究归结起来可分为两类：即确定性方法和不确定性方法，确定性方法是边坡稳定性研究的基本方法，它包括极限平衡分析法、极限分析法、数值分析法。不确定性方法主要有随机概率分析法等。

极限平衡法是边坡稳定分析的传统方法，该方法是基于确定性模型，通过安全系数定量评价边坡的稳定性，该方法原理简易、计算方便，因此被工程界广泛应用。该法基于刚塑性理论，只注重土体破坏瞬间的变形机制，而不关心土体变形过程，只要求满足力和力矩的平衡、Mohr-Coulomb准则。但在计算边坡安全系数时不能考虑参数的不确定性，没有考虑土体本身的应力-应变关系，不能反映边坡变形破坏的过程，其求解过程大致如下： ①先根据经验和理论，预设一个可能形状的滑动面； ②通过分析临近破坏情况，建立土体外力与内部强度所提供抗力之间的平衡模式； ③根据上述模式计算土体在自身荷载作用下的边坡稳定性过程。但由于其概念简单明了，且在计算方法上形成了大量的计算经验和计算模型，仍为边坡稳定性分析最主要的分析方法。在工程实践中，可根据边坡破坏滑动面的形态来选择相应的极限平衡法。目前常用的极限平衡法有瑞典条分法、Bishop法[5]、Janbu法、Spencer法、Sarma法Morgenstern-Price法和不平衡推力法等。

若土坡下面有软弱夹层，或土坡位于倾斜岩层面上，滑动面形状受到夹层或硬层影响而呈现非圆弧形状，一些常用的计算方法将不适用，如瑞典条分法、Bishop法。而Janbu法[6]假设了条间合力点的位置，并令竖向荷载合力通过条块底面中心，可同时考虑条间竖向力和水平力的作用，满足所有力及力矩平衡条件，因此其适合任意的破坏类型。在实际工程中常常会遇到非圆弧滑动面的突破稳定分析，因此Janbu法具有很强的工程实用性。但是基于Janbu法建立的稳定功能函数大多为隐式函数，对常规可靠度求解相当困难，如常用的一次二阶矩法、二次二阶矩法、蒙特-卡洛法等，但随着计算方法的不断创新与改善，国内外学者对边坡稳定可靠度进行了大量的实用研究[7，8]。Kriging模型由南非地质学者Krige D G[9](1951)最早提出，该方法的半参数化插值技术的计算性能优良。本文将Kriging抽样模拟方法引入到边坡工程可靠度计算中，以解决边坡功能函数的隐式问题，具有计算精度高、计算效率优良等特点，具有很好的工程实用价值。

2基于Janbu法的边坡稳定功能函数

图1　Janbu条分法的计算简图Figure 1　A diagram calculation of janbu method

取任一土条如上图所示，需求的未知量有：土条底部法向反力Ni(n个)；法向条间力之差△Ei(n个)；切向条间力Xi(n-1个)及安全系数Fs。可通过对每一土条力和力矩平衡建立3n个方程求解。

对每一土条取竖向力的平衡，则：

(1)

再取水平向力的平衡，有：

ΔEi=Nisinαi-Tficosαi=

(2)

由图1可以看出：土条条块侧面的法向力E，显然有E1=ΔE1，E2=ΔE1+ΔE2依次类推，有：

(3)

对土条中点取力矩平衡，并略去高价微量，则：

Xi=-Eitanαti+htiΔEi/bi

(4)

再由整个土坡∑Ei=0可得

(5)

根据安全系数的定义和摩尔-库伦破坏准则：

(6)

联合求解式(1)及式(6)，得：

(7)

将式(7)代入式(5)，可得基于Janbu法的边坡稳定性系数Fs如下：

(8)

综上，可以发现式(8)，基于Janbu法的边坡稳定安全系数Fs本身都是ci，tanφi，Wi及Fs自身的函数，即属于隐式函数，同时为非线性。然而边坡功能函数的建立是以稳定性系数为基础的，即：

Z=Fs-1

(9)

该功能函数为复杂的隐式函数，采用传统求解方法十分困难，需要寻求新的替代求解方法。

3可靠度计算方法

3.1拉丁超立方抽样方法

拉丁超立方法(Latin Hypercube Sampling)试验设计是由McKay等(1980)专门为仿真试验提出的一种试验设计类型。它是一种充满空间设计，使输入组合相对均匀地填满整个试验区间。拉丁超立方法原理如下所示：

① 定义参与计算机运行的抽样数目N；

③ 对每一列仅抽取一个样本，各列中样本的位置是随机的。

3.2Kriging插值函数方法

(10)

此处，λi为待定加权系数。

由于Kriging插值函数是根据无偏估计和方差最小两项要求来确定上式中的加权系数λi的，故称为最优内插法。

① 无偏估计原理。

(11)

将式(10)代入(11)式，应有：

(12)

(13)

利用式(10)，经推导方差：

(14)

i=1，2…，N

(15)

由式(15)和式(12)组成n+1阶线性方程组，求解此线性方程组便可得到n个加权系数λi和拉格朗日算子φ。该线性方程组可用矩阵形式表示：

γ11γ12…γ1N1γ21γ22…γ2N1……γN1γN2…γNN111…10ìîíïïïïïïüþýïïïïïïλ1λ2︙λNϕìîíïïïïïïüþýïïïïïï=γ10γ20︙γN01ìîíïïïïïïüþýïïïïïï

(16)

3.3基于Janbu法的边坡稳定可靠度计算

本文利用Kriging算法处理非线性问题的高度适应性，解决了基于Janbu法的边坡稳定功能函数的高度非线性问题，该方法具体求解可靠度过程如下所示：

① 根据Janbu法的求解过程，建立边坡稳定功能函数表达式；

② 采用拉丁超立方抽样方法，对工程实际中变异性较大的相关参数，抽取样本空间n=20的随机样本x1，x2，x3，…，xn；

③ 根据随机抽样样本，采用相关的数值分析软件如Ansys，Abaqus，Flac等求出其功能函数值。

④ 根据抽样样本及其功能函数值，利用Kriging差值函数原理建立边坡功能函数的Kriging代理模型；

⑤ 进行中心抽样，利用蒙特-卡洛法计算原理输出失效概率。

4工程实例分析

某边坡横向坡面图如图2所示，假设该边坡为粘土土质边坡，土质均匀，坡高20 m，坡长10 m，为公路路基常见的边坡形式，取变异性较大的粘聚力c、内摩擦角φ、重度γ为抽样样本对象，其力学特性如表1所示。

图2　边坡剖面图(单位： m)Figure 2　Geometry of slope(units： m)

表1 边坡土层物理力学性质特性统计特征Table1 Physicalandmechanicalparameterspropertiesandstatisticalcharacteristicsofslope随机变量取值范围均值/μ标准差/σc/MPa6.2～9.57.20.17φ/(°)13.6～15.914.280.30γ/(kN·m-3)18.7～21.220.90.56

以前文所述Janbu法进行求解计算，并运用拉丁超立方抽样方法进行样本抽样，所抽取的拟合样本如表2所示。并运用表2所示样本及其特征函数值，建立Kriging差值函数模型，最后进去可靠度求解。计算结果如表3所示，可以看出，采用直接蒙特卡洛法进行求解，需要大量的计算次数，才能取得稳定结果，而采用本文方法，只需20次计算量，便能求出合理的计算介绍，如果把蒙特卡洛法作为精确解，则本文方法误差只有2.18%，满足工程要求。

表2 算例抽样样本Table2 Samplesofengineeringexample样本序号c/kPaΦ/(°)γ/(kN·m-3)样本序号c/kPaΦ/(°)γ/(kN·m-3)19.50014.56819.489118.45814.20521.06826.72115.05320.937127.58913.96319.09537.06815.65819.226138.80513.60018.70048.28414.32619.884147.76314.81119.75359.32614.08420.542156.54713.72119.62169.15315.77920.279166.37415.41619.35877.93714.68920.147177.41615.17420.01686.89515.90021.200188.63213.84220.67498.11115.53720.805198.97914.44718.963107.24215.29518.832206.20014.93220.411

表3 工程实例1计算结果对比Table3 Comparisonofresultsforexample1计算方法计算量/次失效概率Pf可靠度指标β相对误差/%蒙特卡洛法1055.33×10-43.2725—本文方法204.13×10-43.34392.18

5结论与建议

本文基于目前Janbu法建立的边坡稳定功能函数具有隐式特征及高度非线性问题，研究一种计算效率较高边坡稳定可靠度计算方法，具体取得了如下成果：

① 根据Janbu法理论，建立基于极限平衡条件的边坡稳定功能函数表达式。

② 引入Kriging插值函数法，对高度非线性的边坡功能函数进行代理求解，以解决边坡稳定功能函数隐式特征这一特点。

③ 建立边坡稳定可靠度计算流程。且通过一个工程实例，表明该方法求解过程清晰，计算效率高，计算精度能满足工程要求，具有较好的工程实用价值。

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[9]Krige D G.A statistical approach to some basic mine valuation problems on the Witwatersrand.Journal of the Chemical，Metallurgical and Mining Society of South Africa，1951，52(6)：119-139.

Reliability Calculation Method of Soil Slope Engineering Based on Kriging Model

TENG Bin， CHEN Hao

(Kechuang Vocation College， College of Information and Architectural Engineering， Yongchuan， Chongqing 402160， China)

[Abstract]Slope reliability calculation process is more difficult by complicated characteristics and its implicit function of highly nonlinear function，In this paper，an easy-to-operate method slope reliability calculation has been established by Janbu method and Kriging interpolation method.First，creating a performance function of slope reliability calculation method based on Janbu principle.Then，the large variability of parameters were performed sampling through Latin Hypercube Sampling method，to extract a random sample of a certain size，while introduction of Kriging interpolation function method，and combined with new features function above sampling sample components to solve the implicit question of original slope stabilization function.Finally，an engineering example was analyzed by above method，show that how that the method has higher efficiency and excellent accuracy compared to traditional Monte Carlo method.

[Key words]slope engineering； janbu method； reliability； kriging interpolation method； monte carlo method

[中图分类号]U 416.1+4

[文献标识码]A

[文章编号]1674-0610(2016)01-0143-04

[作者简介]滕斌(1981-)，男，四川德阳人，讲师，主要从事建筑及岩土方面教学及研究。

[基金项目]重庆市高等教育教学改革研究项目(113256)

[收稿日期]2014-10-11